Тензорные сети и их приложения к многочастичным квантовым системам

Простейшим объектом в многочастичных квантовых системах является одномерная спиновая цепочка. Основное состояние описывается $2^N$ параметрами, в то время как гамильтониан имеет $4^N$ параметров, где $N$ — длина цепочки. Экспоненциальное число параметров в значительной степени затрудняет выполнение численных вычислений в случае длинных спиновых цепочек ($> \sim 15$ спинов). Но можно разложить тензор, локализованный на $N$ узлах решетки, на произведение локальных тензоров, локализованных на одном узле (тензорная сеть). Ключевым параметром, возникающим при такой процедуре, является размерность связи: она определяет, насколько локальная часть тензора связана с частями, расположенными на соседних узлах. Мерой этой “связи” является энтропия запутанности (посчитанная при условном разделении тензора пополам). Таким образом, в случае малой энтропии запутанности можно эффективно представить тензор с многими индексами с помощью тензорной сети с малой размерностью связи (и сделать число параметров не экспоненциальным, а линейным по $N$).

В работе [1] эта процедура применяется для нахождения самых медленных операторов. В представлении Гейзенберга эти операторы описывают динамику спиновой цепочки в наиболее поздний период времени (т.к. они медленнее всех остальных операторов). В работе получено, что локальные самые медленные операторы соответствуют распространению энергии и плавно меняют свои свойства при приближении к интегрируемой точке. При этом трансляционно-инвариантные самые медленные операторы фигурируют в обобщенном ансамбле Гиббса, который описывает промежуточный этап релаксации системы. В другой работе рассматриваются более быстрые локальные операторы. Показано, что они меняются ролями при отдалении от интегрируемой точки. Кроме того, они преобразуются один в другой в процессе эволюции.

Список литературы

1. E. Izotova, “Local versus translationally invariant slowest operators in quantum Ising spin chains”, Phys. Rev. E, 108:2 (2023), 024138