Аннотация:
Каждому простому $n$-мерному многограннику $P$ c $m$ гипергранями в торической топологии сопоставляется $n$-мерное вещественное момент-угол многообразие $RZ_P$, склеенное из $2^m$ копий многогранника. На этом многообразии канонически действует группа $\mathbb{Z}_2^m$, причём факторпространство совпадает с $P$. Обычно рассматриваются подгруппы $H$ в $\mathbb{Z}_2^m$, которые действуют свободно. В этом случае факторпространство автоматически является многообразием. Мы рассмотрим случай произвольной подгруппы.
Будет описан критерий, когда пространство орбит $RZ_P/H$ является топологическим многообразием (возможно, с границей), который можно извлечь из результатов М.А.Михайловой и К.Ланге.
Для каждой размерности $n$ мы построим серии многообразий $RZ_P/H$, гомеоморфных сфере $S^n$, и серии многообразий $M^n=RZ_P/H$, допускающих гиперэллиптическую инволюцию $t$ из $\mathbb{Z}_2^m/H$, то есть инволюцию $t$, такую что $M^n/<t>$ гомеоморфно $S^n$.
Для любого простого 3-многогранника $P$ мы классифицируем все подгруппы $H$ в $Z_2^m$, такие что $RZ_P/H$ является 3-сферой или рациональной гомологической 3-сферой. В последнем случае мы уточним известные ранее результаты.
Для любого простого 3-многогранника $P$ и любой подгруппы $H$ в $\mathbb{Z}_2^m$ мы классифицируем все гиперэллиптические инволюции в $\mathbb{Z}_2^m/H$, действующие на $RZ_P/H$. Как следствие, мы получим, что для трёхмерного малого накрытия $N$ следующие условия эквиваленты:
1. $N$ имеет три гиперэллиптические инволюции в $\mathbb{Z}_2^3$;
2. любая сохраняющая ориентацию инволюция из $\mathbb{Z}_2^3$ имеет в качестве пространства орбит сферу (за эту формулировку автор благодарен Владимиру Горчакову);
3. $N$ является рациональной гомологической 3-сферой;
4. $N$ отвечает тройке согласованных гамильтоновых циклов, таких что каждое ребро многогранника принадлежит ровно двум из них.
Задача описания гиперэллиптических инволюций мотивирована работами А.Д.Медных и А.Ю.Веснина.
|
