Аннотация:
На этой Лекции мы обобщили методы стабилизаторного формализма для изучения систем частиц с локальными размерностями $d$. Так, мы обсудили обобщения таких понятий, как группа Паули, стабилизаторные группы, группы Клиффорда. Для систем простой размерности $d$, теория практически не отличается от стабилизаторной теории для кубитов. В то же время, в случае составных $d$, структура стабилизаторных групп оказывается более сложной, поскольку в этом случае $\mathbb{Z}_d$-модули не являются векторными пространствами. В случае нечётных $d$, группа Паули является представлением группы Гейзенберга, поэтому у стабилизаторной теории возникает дополнительная интерпретация в терминах фазового пространства $\mathbb{Z}_d^{2n}$. Так, каждая стабилизаторная группа соответствует некоторому изотропическому подпространству $M$ со сдвигом $v$. Дискретную функцию Вигнера можно определить как симплектическое преобразование Фурье от характеристической функции. Функция Вигнера чистого стабилизаторного состояния является равномерным распределением над афинным лагранжевым подпространством в $\mathbb{Z}_d^{2n}$, а группа унитарных вентилей Клиффорда соответствует афинным симплектическим преобразованиям фазового пространства.
