Аннотация:
Алгебры Роу играют все более важную роль в теории индекса эллиптических операторов на некомпактных многообразиях и их обобщениях. Следуя идеологии некоммутативной геометрии, они обеспечивают взаимодействие между метрическими пространствами (например, многообразиями) и (некоммутативными) $C^*$-алгебрами.
Если метрическое пространство дискретно, наряду с алгеброй Роу можно определить равномерную алгебру Роу, которая существенно отличается от алгебры Роу. С ней удобнее проводить вычисления, но она имеет меньше связей с эллиптической теорией.
Многообразия и некоторые другие пространства $X$ часто наделяются дискретными подпространствами $D\subset X$, которые являются $\varepsilon$-плотными для некоторых $\varepsilon$, например, решетки в группах Ли или, более общим образом, множества Делоне в метрических пространствах. Некоторые проблемы, связанные с $X$, могут упроститься при сведении к такой дискретизации $ D$. В частности, было бы интересно понять связь между алгеброй Роу пространства $X$ и равномерными алгебрами Роу ее дискретизаций $D$. Мы ограничимся случаем, когда $X$ является симплициальным комплексом со стандартной метрикой, а множество его вершин представляет собой дискретизацию $X$, и для получения более плотных дискретизаций, мы будем разбивать симплексы на более мелкие одинаковые симплексы.
Наш первый результат состоит в построении непрерывного поля $C^*$-алгебр над $\mathbb N\cup\{\infty\}$ таким образом, что слой над $\infty$ является алгеброй Роу пространства $X$, а слой над любой конечной точкой $n$ является равномерной алгеброй Роу соответствующей дискретизации $D(n)$, $n\in\mathbb N$, пространства $X$. Такие не локально тривиальные непрерывные поля $C^*$-алгебр интересны тем, что они обеспечивают связь между слоями в разных точках. В частности, они могут предоставить отображение из $K$-теории слоя над $\infty$ в $K$-теорию слоев над конечными точками.
Второй результат состоит в построении прямого предела равномерных алгебр Роу дискретизаций $D(n)$ пространства $X$, которые становятся все более и более плотными, и вложение этого прямого предела в алгебру Роу пространства $X$. Такой прямой предел является хорошим кандидатом для того, что могло бы быть равномерной алгеброй Роу недискретного пространства.
