Аннотация:
Пусть $F: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ -— полиномиальное отображение комплексного пространства в себя. Когда оно обратимо? Необходимым условием, очевидно, является локальная обратимость в каждой точке.Знаменитая проблема Якобиана утверждает, что это условие является достаточным. В течение более чем 20 лет, вплоть до 1968 года, проблема Якобиана считалась решённой для $n=2$, с тех пор каждые несколько месяцев появляются новые “доказательства”.
С проблемой Якобиана тесно связана гипотеза Диксмье, формулировка которой для $n=1$ выглядит невинно: пусть $P, Q$ – многочлены от $x$ и $(d/dx)$, причём $PQ– QP=1$. Верно ли, что $(d/dx)$ можно выразить через $P$ и $Q$. Это утверждение до сих пор не доказано. Недавно удалось доказать экивалентность этого утверждения проблеме Якобиана для $n=2$. Стабильная эквивалентность гипотезы Якобиана и Диксмье доказана в работе https://arxiv.org/abs/math/0512171. Доказательство использует аналогию между классическими и квантовыми объектами. Предполагается дать элементарное объяснение этой аналогии а также обсудить гипотезы Концевича об естественной изоморфности групп полиномиальных симплектоавтоморфизмов и автоморфизмов алгебры Вейля.
Другое, близкое, утверждение именуется теоремой Абьенкара–Моха ивыглядит невинно. Пусть $P, Q, R$ — многочлены, причём $R(P(x),Q(x))=x$. Доказать, что либо степень $P$ делит степень $Q$, либо наоборот. Проблема Абьянкара утверждает, что все вложения афинной прямой в $\mathbb{C}^3$ изоморфны. Над $\mathbb{R}$ ответ отрицателен – имеются полиномиальные узлы, так что проблему Абьянкара можно рассматривать как возможность определить узел абстрактно алгебраическим образом.
|
