Асимптотики длинных нелинейных береговых волн в бассейнах с пологими берегами

В работе построены специальные асимптотические решения нелинейной системы уравнений мелкой воды в двумерных бассейнах глубины $D(x)$ с пологими берегами – описывающие волны, локализованные в окрестности береговой линии $D(x)=0$, и обобщающие (линейные) волны Стокса и Урселла. При этом рассматриваются волны периодические или близкие к периодическим. Соответствующие асимптотические решения представляются в параметрической форме, основанной на модификации преобразования Карриера–Гринспана и порождаются асимптотическими собственными функциями волнового оператора с вырождающейся на границе скоростью.
Такие собственные функции, вообще говоря, связаны с траекториями гамильтоновой системы, образующими бильярды с "полужесткими стенками". В общем случае существование таких бильярдов предполагает практически не выполнимое в реальных ситуациях требование интегрируемости соответствующей гамильтоновой системы. Мы рассматриваем "вырожденную" ситуацию, когда траектории находятся в очень узкой окрестности границы и асимптотические собственные функции напоминают известные в акустике волновые функции типа "шепчущей" галереи, тогда требование интегрируемости гамильтоновой системы пропадает. Одно из важных отличий рассматриваемой задачи от классической ситуации шепчущей галереи состоит в том, что траектории за счет вырождения функции глубины $D(x)$ на границе всегда нормальны к границе и требование выпуклости области, в которой изучается задача, отсутствует.
Результаты получены совместно с М.М.Вотяковой и С.Ю.Доброхотовым.