Вероятность в комбинаторной геометрии. Семинар 3

Вероятность — это не только очень красивая наука, но и удивительный инструмент, помогающий решать задачи из, казалось бы, совсем не связанных с вероятностью областей. В данном курсе я хотел бы сделать упор на неожиданные применения вероятности в задачах комбинаторной геометрии. Например, мы рассмотрим следующую проблему, предложенную в середине 80-х годов ХХ века и до сих пор до конца не решенную. Пусть на плоскости дано множество $A$, состоящее из $n$ точек в «общем положении», т.е. никакие $3$ точки не лежат на одной прямой. Скажем, что три точки из множества $A$ образуют пустой треугольник, если в этом треугольнике нет точек из $А$, отличных от вершин. Обозначим $f(n)$ минимальное количество пустых треугольников, где минимум берется по всем множествам $А$ указанного вида. Как найти или хотя бы оценить $f(n)$? Поможет вероятность! Есть и еще более трудные проблемы, которые можно попробовать успеть обсудить. Скажем, такова задача освещения границы выпуклого тела постоянной ширины.

Курс доступен старшеклассникам.