Теорема Атьи-Зингера об индексе эллиптических операторов. Лекция 3. О доказательствах теоремы об индексе. Обобщения

В 1963 году Атья и Зингер предъявили формулу для индекса эллиптического дифференциального оператора на гладком замкнутом многообразии. Их работа стала ответом на вопрос Гельфанда о выражении индекса эллиптического оператора в топологических терминах. В 1966 году Атья получил филдсовскую медаль, а в 2004 году Атья и Зингер получили премию Абеля за их формулу индекса.

Почему теорема об индексе является интересной и важной? Можно указать много причин. Вот некоторые из них. Во-первых, она связывает две области математики: анализ (дифференциальные уравнения в частных производных) и топологию (теорию характеристических классов векторных расслоений). Во-вторых, она содержит в качестве частных случаев много известных результатов (формулу Нётера для индекса интегрального оператора, формулу Гаусса-Бонне-Черна для эйлеровой характеристики, формулу Хирцебруха для сигнатуры, формулу Римана-Роха-Хирцебруха на комплексном многообразии и др.). В-третьих, она имеет много приложений (в топологии, теории чисел, дифференциальной геометрии, теоретической физике, и др.). В-четвертых, она имеет много естественных обобщений. В-пятых, были найдены независимые подходы к индексу с точки зрения разных идей (кобордизмов; K-теории; теории инвариантов; интегралов по путям и суперсимметрии; теории вероятностей; асимптотических методов; некоммутативной геометрии и др.).

В этом цикле лекций планируется рассказать о теореме об индексе, наиболее важных примерах, приложениях и обобщениях. Обсудим также идеи некоторых доказательств теоремы об индексе.