Аннотация:
В докладе будет представлен подход для нахождения квазиклассических
асимптотических собственных функций (псевдо-)дифференциальных
операторов с интегрируемым главным символом и нетривиальной поправкой
к нему, разрушающим интегрируемость. В таких задачах возникает
необходимость решать уравнение переноса на лагранжевом многообразии
(торе), которое соответствует главному символу и удовлетворяет
условиям квантования, что в многомерном случае приводит к проблеме
малых знаменателей. Основная идея состоит в том, что тор,
удовлетворяющий условиям квантования, «заменяется» на близкий (лежащий
в его O(h)-окрестности) диофантов тор, и уравнение переноса решается
на последнем. В некотором смысле подход, представляет упрощенный
вариант методов, основанных на КАМ-теории, который позволяет
конструктивно описывать поведение асимптотических собственных функций
операторов. В качестве примеров будут рассмотрены спектральные задачи
для оператора Шредингера (изученные ранее А.Ю.Аникиным и
С.Ю.Доброхотова), для оператора Дирака, описывающего графен в
магнитном поле и для волнового оператора с вырождением скорости.
Доклад основан на совместных работах с А. Ю. Аникиным.
