Аннотация:
В 1987 году У.Брем и В.Кюнель доказали, что единственным $d$-мерным многообразием, которое допускает триангуляцию меньше чем с $3d/2+3$ вершинами, является $d$-мерная сфера $S^d$. Более того, если $d$-мерное многообразие $M^d$, отличное от $S^d$, допускает триангуляцию ровно с $3d/2+3$ вершинами, то $d$ - одно из четырех чисел $2, 4, 8$ и $16$, а $M^d$ является многообразием, похожим на проективную плоскость. Это замечательный класс многообразий, появившийся в 1950-х годах в работах Дж.Милнора, Н.Шимады, Дж.Илса и Н.Койпера. Он состоит из многообразий, которые по ряду своих свойств очень близки к настоящим проективным плоскостям $\mathbb{RP}^2$, $\mathbb{CP}^2$, $\mathbb{HP}^2$ и $\mathbb{OP}^2$, отвечающим четырем классическим алгебрам с делением $\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H$ и $\mathbb O$. Таким образом, построение и изучение $(3d/2+3)$-вершинных триангуляций $d$-мерных многообразий, похожих на проективные плоскости, представляет особый интерес. До недавнего времени было известно очень мало таких триангуляций: по одной в размерностях $2$ и $4$ и шесть в размерности $8$. Ни одного примера в размерности $16$ известно не было.
Я расскажу о серии своих недавних результатов по этой проблеме. Основным из них является решение задачи о существовании $27$-вершинных триангуляций $16$-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. Построено огромное число (больше $10^{103}$) таких триангуляций. Четыре наиболее симметричные триангуляции были найдены при помощи специально разработанного компьютерного алгоритма; остальные получены из этих четырех при помощи специальных перестроек, называемых тройными флипами. Далее я расскажу о построении большого числа новых примеров $15$-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$ и их частичной классификации, а также о результатах про возможные группы симметрий $27$-вершинных $16$-мерных и $15$-вершинных $8$-мерных триангулированных многообразий, похожих на проективные плоскости.
