Локальный подход к теореме Делиня-Римана-Роха

Классическая теорема Римана-Роха на компактных римановых поверхностях была открыта в XIX веке (в 1857 и 1865 году) и описывает размерности пространств сечений голоморфных линейных расслоений на этих поверхностях. С тех пор эта теорема сильно обобщалась дальше. В конце XIX века ее обобщил М. Нётер на проективные алгебраические поверхности. В середине и во второй половине XX века ее обобщил сначала Ф. Хирцебрух на проективные комплексные алгебраические многообразия, а затем А. Гротендик обобщил эту теорему в относительную ситуацию, то есть на некоторые морфизмы между алгебраическими многообразиями. Наконец, в середине 80-х годов XX века П. Делинем была получена функториальная версия этой теоремы, связанная с пространством модулей пар: алгебраическая кривая и линейное расслоение на ней, и устанавливающая изоморфизм некоторых линейных расслоений на пространстве модулей.

Я расскажу про локальный подход к этой теореме Делиня-Римана-Роха. Он состоит в вычислении класса центрального расширения некоторой бесконечномерной группы. Касательная алгебра Ли этой группы есть алгебра Ли дифференциальных операторов порядка не более 1, действующих на формальном проколотом диске. При этом вычисление класса центрального расширения группы сводится к вычислению соответствующего класса центрального расширения алгебры Ли. Упомянутая группа действует на пространстве модулей следующих пятерок данных: проективная алгебраическая кривая, линейное расслоение на этой кривой, гладкая точка на этой кривой, локальный параметр в этой точке, тривиализация линейного расслоения в формальной окрестности этой точки. Это действие индуцирует сюръективные отображения из алгебры Ли в касательные пространства этого пространства модулей. Также пространство модулей этих пятерок данных естественным образом отображается в пространство модулей пар, упомянутых выше.