Некоторые предельные теоремы для ветвящихся процессов со слабо зависимой иммиграцией

Пусть $\left\{\xi_{k,j},\, k,j\geq 1\right\}$ и $\left\{\varepsilon_{k}, k \geq 1\right\}-$ две независимые совокупности неотрицательных и целочисленных случайных величин (с.в.). При этом предполагается, что совокупность $\left\{\xi_{k,j}\right\}$ состоит из независимых и одинаково распределенных с.в.
Ветвящимся процессом с иммиграцией называется процесс $\left\{X_{k}, k\geq 0\right\}$, определенный следующим рекуррентным соотношением:
$$ X_{0}=0, \ \ X_{k}=\sum_{j=1}^{X_{k-1}}\xi_{k,j}+\varepsilon_{k}, \ \ k \geq 1. $$

Мы рассмотрим критический случай, т.е. $m:=\mathbf{E}\xi_{1,1}=1$.
Мы в первую очередь сосредоточиваем внимание на случае, когда процесс иммиграции состоит из необязательно одинаково распределенных с.в. В контексте ветвящихся процессов это означает, что интенсивность иммиграции может зависеть от времени иммиграции. Систематическое изучение асимптотического распределения процесса $X_{k}$ с растущей иммиграцией (${\mathbb{E}}\varepsilon_{k}\to +\infty$ as $k \to \infty$) было проведено И.Рахимовым.
Мотивированные результатами Рахимова о функциональных предельных теоремах для $X_{k}$ в случае, когда поток иммиграции состоит из независимых случайных величин, мы естественно задаёмся вопросом о возможной обобщении этих результатов для иммиграции, удовлетворяющей определённым условиям слабой зависимости. В докладе также рассматриваются почти критические ветвящиеся процессы с иммиграцией, а также частично наблюдаемые ветвящиеся процессы.