Аннотация:
В докладе рассматривается задача о восстановлении (конформного класса) поверхности $M$ с метрикой $g$ и краем $\Gamma$ по ее ДН-оператору $\Lambda: \ f\mapsto \partial_\nu u^f|_{\Gamma}$, где $u^f$ – гармоническое продолжение $f\in C^{\infty}(\Gamma)$ внутрь $M$ и $\nu$ – внешняя нормаль. Описываются
алгебраический подход (предложенный М.И.Белишевым) к решению этой задачи. Идея этого подхода состоит в том, что $M$ конформно эквивалентна спектру алгебры $A(M)$ голоморфных функций на $M$; последняя определяется (с точностью до изоморфизма) по граничным данным.
обобщения алгебраического подхода на случай неориентируемых поверхностей, а также на случай, когда ДН-оператор задан только на произвольно малом сегменте границы.
характеризация ДН-операторов, т.е., условия, необходимые и достаточные для того, чтобы оператор $\Lambda$ являлся ДН-оператором некоторой поверхности. В рамках алгебраического подхода такие условия получаются из элементарных свойств голоморфных функций, таких как алгебраическая замкнутость, принцип аргумента и т.д.
устойчивость решений, т.е. непрерывная зависимость (относительно метрики Тейхмюллера) конформного класса $M$ от её ДН-оператора $\Lambda$.
Доклад основан на совместных работах с М.И.Белишевым.
