Случайные поля и случайные меры. Лекция 1

Рассмотрим характеристический многочлен случайной матрицы, распределенной по мере Хаара — случайную голоморфную функцию с нулями в точках спектра. Предельное распределение логарифма модуля этого поля при устремлении размера к бесконечности в комплексной плоскости без единичной окружности следует из теоремы Сошникова, утверждающей, что распределение суммы значений гладкой функции в спектре большой случайной унитарной матрицы асимптотически гауссово.

Подобные рассуждения продолжаются и на предел мер Хаара при некотором скейлинге спектра — синус процесса — меры на дискретных счетных подмножествах прямой. Ввести можно и аналог характеристического многочлена — случайную голоморфную функцию, равную нулю в точках случайного подмножества. Аналогичнопо теореме Сошникова логарифм модуля данного поля сходится к гауссовому распределению на комплексной плоскости без действительной оси при стягивании частиц. Для самой же случайной функции на действительной оси в пределе получается не функция, а мера — гауссов мультипликативный хаос, неформально понимаемый как экспонента случайной обобщенной функции.

В рамках школы мы будем пробовать выводить из центральной предельной теоремы сходимость к гауссову мультипликативному хаосу.