Гармонические автоморфизмы единичного круга с полиномиальной антиголоморфной частью

Данная задача возникла в связи с понятием квадратурной области. Напомним, что ограниченная область $D$ в комплексной плоскости называется квадратурной (точнее говоря, квадратурной в классическом смысле), если найдется распределение (обобщенная функция) $F$ с конечным носителем, лежащим в данной области такое, что для любой голоморфной и интегрируемой в этой области функции $f$ (интегрируемость рассматривается относительно классической меры Лебега) выполняется равенство $\int_D f dxdy = F(f)$ Другими словами, для любой такой функции $f$ ее интеграл по области $D$ можно вычислить как конкретную конечную линейную комбинацию значений функции и, возможно, некоторых ее производных, в фиксированных (зависящих только от области) точках области $D$. Простейшим примером квадратурной области является круг, несложно привести более содержательные примеры. Так, можно доказать, что среди жордановых областей с аналитическими границами квадратурным будут те и только те области, которые являются образами единичного круга $\mathbb{D} = {|z| < 1} $ при (конформном) отображении рациональными функциями, однолистными в $\mathbb{D}$.

Приблизительно 20 лет назад возникла задача описания однолистных гармонических отображений круга $\mathbb{D}$ на квадратурные области. Напомним, что однолистное гармоническое отображение — это взаимно однозначное отображение круга $\mathbb{D}$, осуществляемое гармонической функцией, т.е. функцией вида $h(z) + g(\overline z)$ (напомним, что комплексная гармоническая функций — это сумма голоморфной и антиголоморфной компонент). Особый интерес представляет задача описания гармонических отображений круга $\mathbb{D}$ на квадратурные области в классе гармонических функций с полиномиальной антиголоморфной частью. Долгое время не удавалось найти примеры таких областей и лишь недавно были построены первые нетривиальные примеры гармонических автоморфизмов единичного круга с полиномиальной антиголоморфной частью.

В рамках школы планируется обсудить предысторию задачи, конструкции известных примеров и продвинуться дальше в описании всех соответствующих автоморфизмов.

Специальных знаний для понимания задачи и участия в ее обсуждениях не требуется, но материал стандартного курса комплексного анализа (теории функций комплексного переменного) считается известным. Также желательно знакомство с элементами теории ограниченных голоморфных функций и с началами теории пространств Харди Hp (в этой связи можно рекомендовать книги Д. Гарнетта «Ограниченные аналитические функции» и П. Кусиса «Введение в теорию пространств $H^p$»).