Гауссов мультипликативный хаос для синус-процесса

Синус-процесс проще всего определить как скейлинговый предел распределения собственных чисел унитарной матрицы при росте ее формата. Частное значений характеристического полинома нашей матрицы сходится, при скейлинговом пределе, к случайной голоморфной функции – случайному произведению Эйлера. Главный результат доклада устанавливает, что случайное произведение Эйлера сходится при скейлинге к гауссову мультипликативному хаосу – случайной мере, экспоненте гауссова случайного поля, отвечающего соболевскому пространству функций регулярности -1/2.
Идея гауссова мультипликативного хаоса восходит к написанным на физическом уровне строгости работам Андрея Николаевича Колмогорова и его школы по гидродинамической турбулентности. Математически строгая теория построена опиравшимися на лог-нормальную гипотезу Колмогорова-Обухова Мандельбротом, Перьером и Каханом. Сегодня, в дополнение к исходной конструкции Кахана, есть несколько способов строить гауссов мультипликативный хаос: например, способ Шамова, способ Берестицкого, и, в критическом случае, способ Лакуэна, опирающиеся, каждый, но по-разному, на теорему Гирсанова. В докладе будет предложен новый, элементарный, способ построения экспоненты случайного поля, хорошо приспособленный к работе с негауссовыми полями.
Сходимость степеней модуля характеристического полинома случайной матрицы к гауссову мультипликативному хаосу восходит к работам Яна Федорова и его соавторов. Для разных матричных моделей, в разных режимах, такая сходимость установлена Берестицким, Ламбертом, Веббом и многими другими исследователями; сюда примыкают также работы Федорова-Хиари-Китинга, Аргэна, Белиуса и Бургада, Зейтуни и Пакетта, Никегбали, Нажнуделя и Шайби, и многих других авторов, об асимптотическом поведении максимума модуля характеристического полинома случайной матрицы.
В докладе мы напрямую будем рассматривать случай точечных процессов с бесконечным числом частиц. Ключевую роль в доказательстве играет анализ скейлингового предела формулы Бородина-Окунькова-Джеронимо-Кейса, явной формулы для остаточного члена в Сильной теореме Сегё в форме Ибрагимова.
Классическая теорема Котельникова (1933) говорит, что множество целых чисел полно и минимально для пространства Пэли-Винера. Гош доказал, что реализация синус-процесса почти наверное полна в пространстве Пэли-Винера; для общих детерминантных процессов теорема полноты доказана в совместной работе с Цью и Шамовым. Как следствие основного результата о сходимости случайного произведения Эйлера, построенного по реализации синус-процесса, к гауссову мультипликативному хаосу, доказано, что реализация синус-процесса, после удаления одной частицы, почти наверное минимальна в пространстве Пэли-Винера: иными словами, синус-процесс имеет избыток один.