Классификация особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с 3 степенями свободы

Изучаются особенности лагранжевых слоений, заданных вполне интегрируемой гамильтоновой системой на $2n$-мерном симплектическом многообразии. Общая проблема в теории особенностей интегрируемых систем — описать топологию особых слоев (или особых орбит соответствующего гамильтонова $\mathbb R^n$-действия) и их расслоенных окрестностей. Мы предполагаем, что интегрируемая система вещественно-аналитична. Особую компактную орбиту назовем торической особенностью, если в ее малой комплексной окрестности существует эффективное гамильтоново действие $n$-мерного тора, порожденное первыми интегралами системы. Торические особенности совпадают с невырожденными, для них известна симплектическая полулокальная классификация (почти прямые произведения эллиптических, гиперболических особенностей и особенностей типа фокус-фокус). Если действующий тор $(n-1)$-мерный, особенность назовем полуторической, им посвящен этот доклад.
В первой части доклада мы обсудим простейший тип вырожденных особенностей — параболические особенности и содержащие их слои — каспидальные торы. Мы дадим симплектическую классификацию лагранжевых слоений в окрестности каспидального тора (и параболической орбиты), и аналогичные классификации для их «скрученных» аналогов. Во второй части доклада мы дадим гладкую классификацию лагранжевых слоений на 6-мерных многообразиях в окрестности особой компактной орбиты полуторического типа. Для этого мы вначале рассмотрим приведенную гамильтонову систему, зависящую от одного или двух параметров, и опишем классификацию бифуркаций такой системы вблизи вырожденного положения равновесия. Полученный нами список особенностей включает параболическую особенность, ее бифуркации, гамильтонову бифуркацию Хопфа, ее аналоги с эллиптическим резонансом $m:n$ и с гиперболическим резонансом $m:n$ (Кудрявцева, Лерман, 2024). Затем мы покажем, как получить остальные особенности — со «скручиванием»: это «скрученные» аналоги указанных особенностей и новая серия особенностей, отвечающих линейным моделям типа фокус-фокус.
Во всех случаях мы строим стандартные полиномиальные гамильтонианы, которые вместе с квадратичными и линейными первыми интегралами дают гладкую классификацию отображений момента в окрестностях вырожденных компактных орбит. Важное свойство всех рассматриваемых особенностей — их структурная устойчивость относительно малых интегрируемых возмущений (это означает, что топология слоения сохраняется после малого вещественно-аналитичного интегрируемого возмущения системы). Это — одна из причин, почему такие особенности появляются во многих примерах интегрируемых систем (например, в волчке Ковалевской). Полученный нами список особенностей включает все известные нам структурно-устойчивые особенности (а также несколько новых серий особенностей) интегрируемых систем с 3 степенями свободы.
Если позволит время, мы опишем приложение полученных результатов к изучению бифуркаций периодических решений в частично-интегрируемых гамильтоновых системах с 3 степенями свободы.