Аннотация:
В аффинной геометрии одним из центральных объектов изучения является группа
$\mathrm{Aut}(n)$ —группа автоморфизмов аффинного пространства размерности $n$. Несмотря на
большое количество исследований, множество естественных вопросов, связанных с
этой группой остаются, открытыми для $n \ge 3$. Например, в размерности $3$ и больше
нет явного набора порождающих. В то же время группа автоморфизмов аффинной
плоскости изучена сильно лучше, для сравнения, еще в 1942 Жанг доказал, что
группа автоморфизмов комплексной аффинной плоскости порождается ручными
автоморфизмами, а в 1953 году ван дер Кулк обобщил этот результат на поля
положительной характеристики.
Вместе со всей группой автоморфизмов аффинного пространства размероности $n$
активно изучают ее нормальную подгруппу $\mathrm{SAut}(n)$, состоящую из элементов с
Якобианом, равным $1$. В соответствии с упомянутой тенденцией, в то время как
вопрос простоты группы $\mathrm{SAut}(n)$ как абстрактной группы в случае $n \ge 3$ остается
открытым до сих пор, Даниловым была предъявлена нетривиальной нормальная
подгруппа в $\mathrm{SAut}(2)$ еще в 1973 году. Учитывая, что группы $\mathrm{Aut}(n)$ и $\mathrm{SAut}(n)$
имеют естественную структуру инд-группы, можно по аналогии спросить, являются
ли они топологически простыми, т. е. содержит ли они нетривиальные замкнутые
нормальные подгруппы?
В той же статье 1981 года, где описывается структура инд-группы, Шафаревич
доказывает топологическую простоту группы $\mathrm{SAut}(n)$ для любого $n$ над полями
характеристики ноль. Однако позже в доказательстве была найдена ошибка и
вопрос снова стал открытым даже в размерности $2$.
В докладе, следуя статье Бланка 2024 года, мы докажем топологическую простоту
группы $\mathrm{SAut}(2)$ над бесконечными полями и сделаем первый шаг к доказательству
аналогичного результата в старших размерностях. Также мы обсудим вопрос
топологической простоты группы $\mathrm{Aut}(n)$ над бесконечными полями, и, если
останется время, затронем случай конечных полей.
