Аннотация:
Доклад посвящен задачам, связанным с 16-й проблемой Гильберта об овалах. При этом в качестве алгебраических функций мы рассматриваем разветвленные накрытия двумерной сферы на себя. Поэтому изучаемые задачи связаны с задачей Гурвица описания разветвленных накрытий поверхностей. Мы расскажем о трех результатах:
1) Любое расположение попарно не пересекающихся овалов на плоскости можно реализовать (с точностью до изотопии) в виде (неособой) лемнискаты степени $2r$, где $r$ — количество овалов. Лемнискатой называется алгебраическая кривая вида $|P/Q|=1$, где $P,Q\in\mathbb C[z]$ — взаимно-простые многочлены степеней $r=\operatorname{deg}P>\operatorname{deg}Q$. Более того, степень $2r$ такой лемнискаты (равную удвоенной степени разветвленного накрытия $P/Q$) нельзя уменьшить ни при каком расположении овалов. Более того, многочлены $P$ и $Q$ можно выбрать так, чтобы разветвленное накрытие $P/Q$ имело минимальные количества нулей и полюсов, а также критических точек и критических значений (в случае $r>1$ равные $r+1$, $2r+2-2k$ и $2\min\{2,\,r-k+1\}$, соответственно, где $k$ — количество овалов, для которых все остальные овалы расположены одновременно внутри или снаружи него). Идея доказательства состоит в явном комбинаторном построении $r$-листного разветвленного накрытия сферы Римана на себя, гомеоморфно переводящего каждый овал на единичную окружность.
2) Аналогичные результаты о реализуемости любого плоского графа, имеющего четные степени вершин, в виде лемнискаты $|P/Q|=1$ степени $2r$, где $r$ — количество ребер графа (степень $2r$ такой лемнискаты можно уменьшить для некоторых плоских графов). Более того, многочлены $P$ и $Q$ можно выбрать так, чтобы разветвленное накрытие $P/Q$ имело минимальное количество $b$, $1<b<6$, критических значений (степень $2r$ такой лемнискаты уже нельзя уменьшить).
3) Реализуемость функций Морса на двумерной сфере алгебраическими функциями (это дает положительный ответ на вопрос В. И. Арнольда). Распространение этого результата на все гладкие функции (не обязательно морсовские): любая гладкая функция $F$ с $k$ критическими точками на двумерной сфере послойно эквивалентна алгебраической функции $|P/Q|^2$, где $\max\{2,\,k-1\}=r+1>\operatorname{deg}P>\operatorname{deg}Q$ (степень $r$ разветвленного накрытия $P/Q$ можно уменьшить для некоторых функций). Более того, многочлены $P$ и $Q$ можно выбрать так, чтобы все критические значения разветвленного накрытия $P/Q$ были вещественны и неотрицательны (степень $r$ такого разветвленного накрытия $P/Q$ уже нельзя уменьшить).
Если граф из 2-го результата связен, или функция $F$ из 3-го результата имеет ровно три критических значения (а потому им соответствует детский рисунок Гротендика на двумерной сфере), то наше разветвленное накрытие $P/Q$ имеет ровно три критических значения и является отображением Белого, отвечающим этому детскому рисунку (при этом случай $Q=1$ отвечает графам — «кактусам», и если «кактус» линейный, то наше разветвленное накрытие $P=P/Q$ — это многочлен Чебышева).
Ссылка для дистанционного подключения: https://mian.ktalk.ru/j1xwg956wc7a PIN-код: Число гомотопических классов отображений из слова ПЁС в слово ЁЖ (где под словом понимается изображаемое его буквенной записью подмножество плоскости)
