Геометрия полной симметрической системы Тоды

олную симметрическую систему Тоды проще всего определить как систему Лаксова вида:
$$ \dot L=[M(L),L], $$
где переменная матрица $L$ это вещественная симметрическая матрица размера $n\times n$, а $M(L)=L_+-L_-$ — её "наивная" антисимметризация (матрица, составленная из верхнетреугольной части $L_+$ матрицы $L$ с прежним знаком и её нижнетреугольной части $L_-$ с обращённым знаком). У этой системы масса интересных свойств: она является гамильтоновой системой, интегрируемой по Лиувиллю, также она некоммутативно интегрируема (в смысле Нехорошева), её особые точки и траектории упорядочены в соответствии с порядком Брюа на группе перестановок. У её обобщений на другие полупростые группы Ли имеются аналогичные свойства. В своем рассказе я дам набросок доказательств некоторых из этих утверждений и расскажу о том, как можно строить симметрии такой системы. Из этой конструкции, в частности будет следовать, что система Тоды интегрируема в смысле теоремы Ли-Бьянки (то есть имеет разрешимую алгебру симметрий максимальной размерности).
Доклад основан на серии совместных работ с Ю. Черняковым, Д. Талалевым и А. Сориным.