О рационально интегрируемых двойственных и проективных бильярдах

Имеется знаменитая гипотеза Дж. Бирхгофа, утверждающая, что всякий интегрируемый плоский выпуклый ограниченный бильярд есть эллипс. Интегрируемость означает существования семейства замкнутых кривых, касающихся бильярдных орбит (они называются каустиками) вблизи границы. С. Л. Табачников предложил более общую версию гипотезы Бирхгофа для введенных им так называемых двойственных бильярдов, обобщающих и обычные, и внешние бильярды. Это — кривые, снабжённые семейством проективных инволюций действующих на касательных прямых и фиксирующих точку касания.

Мы обсудим классификацию двойственных бильярдов, имеющих рациональный первый интеграл, полученную докладчиком. Оказывается, что кривая является коникой, но неожиданным образом, на конике имеется бесконечно много экзотических рационально интегрируемых структур двойственного бильярда. Будет представлен обзор результатов и открытых вопросов. Включая новые результаты о структуре экзотических примеров.