Соленоидальный инвариант зацеплений c тремя и более компонентами

Будем называть $(p_1,...,p_m)$-спутником (кусочно-линейного) зацепления $L=(K_1,...,K_m)$ любое зацепление $L'=(K'_1,...,K'_m)$, лежащее в регулярной окрестности $T=(T_1,...T_m)$ зацепления $L$, причём так, что каждый узел $K'_i$ лежит в полнотории $T_i$ и гомологичен в нём циклу $p_iK_i$. Инвариант v зацеплений будем называть соленоидальным, если существует такое $k$, что для любых целых чисел $p_1,...,p_m$, всякого зацепления $L$ и всякого его  $(p_1,...,p_m)$-спутника $L'$ выполнено $v(L')=(p_1\cdots p_m)^k v(L)$. П. М. Ахметьев развил технику, позволяющую по соленоидальному инварианту зацеплений построить инвариант магнитного поля, дающий нижнее ограничение на его энергию. Е. В. Щепин заметил, что по соленоидальному инварианту зацеплений можно построить инвариант зацепленных соленоидов. Также следует отметить, что всякий соленоидальный инвариант является инвариантом F-изотопии (известного отношения эквивалентности на зацеплениях, которое порождается объемлемой изотопией и операцией замены зацепления на любой его $(1,...,1)$-спутник).

Очевидно, что соленоидальным является коэффициент зацепления, а также некоторые однородные многочлены от попарных коэффициентов зацепления компонент. Существование соленоидальных инвариантов, не являющихся функциями от попарных коэффициентов зацепления, неочевидно. За последние 8 лет П. М. Ахметьев сделал на нашем семинаре как минимум 7 докладов (см. [1], [3]–[5], [8]–[10]; см. также [2], [6]–[7]), посвящённых его гипотезе о том, что некоторый конкретный инвариант 3-компонентных зацеплений, не выражающийся через попарные коэффициенты зацепления, является соленоидальным (быть может, при более слабом определении соленоидальности, где в качестве узлов $K_i'$ берутся только кабельные обмотки узлов $K_i$, т.е. торические узлы в краях полноториев $T_i$). Но, насколько я понимаю, он её так и не доказал (во всяком случае, на момент последнего доклада, состоявшегося месяц назад). В феврале 2021 года я сообщил Петру Михайловичу, что задача проверки его гипотезы является упражнением для первокурсника, если использовать известную формулу Чимазони (2005), описывающую поведение потенциальной функции Конвея при замене каждой из компонент зацепления на её кабельную обмотку. Следует отметить, что (как указано и в статье Чимазони и, например, в обзоре Тураева в УМН), с точностью до знака эта формула известна с 1977 года (Самнерс–Вудс), а в случае одной компоненты и c 1950 года (Зайферт). С тех пор Пётр Михайлович сделал на семинаре ещё как минимум 4 доклада на эту тему, и после каждого из них, а иногда и на самих докладах, я напоминал ему о формуле Чимазони. В итоге пришлось мне сделать это упражнение самому, о чём я и расскажу в докладе.

Теорема. Для каждого $m\ge 3$ существует соленоидальный инвариант $m$-компонентных зацеплений, не выражающийся через попарные коэффициенты зацепления компонент. Это инвариант конечного порядка, выражающийся через коэффициенты полиномов Конвея самого зацепления и его подзацеплений.

[1] P. M. Akhmet'ev, A combinatorial formula for $M$-invariant, 3 августа 2017, https://www.mathnet.ru/rus/present17694
[2] P. M. Akhmet'ev, Quadratic Helicity in MHD, 21 сентября 2017, https://www.mathnet.ru/rus/present17854
[3] П. М. Ахметьев, Асимптотические инварианты зацеплений, 25 января 2019, https://www.mathnet.ru/rus/present23109
[4] П. М. Ахметьев, Формула для $M_3$-инварианта ориентированных зацеплений, 26 февраля 2021, https://www.mathnet.ru/rus/present29537
[5] П. М. Ахметьев, $M_5$ и $M_3$-инварианты для ориентированных зацеплений, 19 марта 2021, https://www.mathnet.ru/rus/present29511
[6] П. М. Ахметьев, О младших коэффициентах ряда Конвея–Мелихова от двух переменных, 17 декабря 2021, https://www.mathnet.ru/rus/present33603
[7] П. М. Ахметьев, Об инвариантах двуцветных 2-, 3- и 4-компонентных зацеплений в $\mathbb R^3$, построенных по ряду Конвея–Мелихова от двух переменных, 1 июня 2022, https://www.mathnet.ru/rus/present35072
[8] П. М. Ахметьев, Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея, 7 октября 2024, https://www.mathnet.ru/rus/present43843
[9] П. М. Ахметьев, Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея II, 4 апреля 2025, https://www.mathnet.ru/rus/present45848
[10] П. М. Ахметьев, Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея III, 11 апреля 2025, https://www.mathnet.ru/rus/present45873



Ссылка для дистанционного подключения: https://mian.ktalk.ru/j1xwg956wc7a
PIN-код: Число гомотопических классов отображений из слова ПЁС в слово ЁЖ (где под словом понимается изображаемое его буквенной записью подмножество плоскости)

^* Продолжение доклада отменяется (в связи с тем, что из переписки докладчика с одним из слушателей у докладчика сложилось впечатление, что этот слушатель намерен продолжить свои попытки сорвать доклад требованиями немедленной проверки своих вычислений, по опыту докладчика - очень сложных и как правило ошибочных; но оставшаяся часть доклада, являющаяся по сути упражнением для первокурсника, не кажется докладчику настолько важной, чтобы ради неё тратить столько лишнего времени).