Разработка и анализ разностных схем второго порядка аппроксимации для нелинейных диффузионно-волновых уравнений с запаздыванием

Рассматривается класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений дробного порядка с временным запаздыванием, содержащих производные Капуто порядков как из (0,1) так и из (1,2). Данная математическая модель описывает процессы с одновременным проявлением субдиффузионных и диффузионно-волновых эффектов. Основные трудности исследования обусловлены совокупным влиянием нелинейных членов, эффектов запаздывания и операторов дробного интегро-дифференцирования различных порядков.
Для анализа задачи предлагается редукция исходной модели к эквивалентной интегро-дифференциальной формулировке, содержащей производную Капуто порядка не выше единицы и интегральные операторы Римана-Лиувилля соответствующих порядков. Данное преобразование позволяет унифицировать математический аппарат и упростить последующий численный анализ.
Численная реализация основана на построении полностью неявной линеаризованной конечно-разностной схемы со вторым порядком точности по времени. Дискретизация включает следующие компоненты: применение трехслойных схем для аппроксимации производной первого порядка; квадратурные формулы второго порядка точности для интегралов Римана-Лиувилля; L2-аппроксимацию для дробной производной Капуто; экстраполяционную формулу второго порядка для явной реализации нелинейных членов. Доказана безусловная устойчивость построенной разностной схемы.
Для задач с большими временными интервалами разработан быстрый вычислительный алгоритм, основанный на представлении ядер дробных операторов в виде конечных сумм экспоненциальных функций. Данный подход обеспечивает снижение вычислительной сложности и соответствующее уменьшение требований к оперативной памяти. На основе указанных аппроксимаций построена быстрая модификация L2-схемы для эффективного решения рассматриваемого класса задач.
Теоретические результаты подтверждены серией вычислительных экспериментов, демонстрирующих соответствие фактического порядка сходимости теоретическим оценкам и вычислительную эффективность предложенных алгоритмов.