Уравнение Маркова и математика вокруг него. Семинар 3

Лекции посвящены изучению диофантова уравнения Маркова
$$x^2+y^2+z^2=3xyz.$$
Это уравнение, впервые полученное выдающимся российским математиком Андреем Андреевичем Марковым (старшим), нашло множество применений в самых разных областях математики. Оказалось, что множество натуральных решений уравнения Маркова имеет структуру графа-дерева, все натуральные решения могут быть получены друг из друга цепочкой преобразований. Мы докажем это и обсудим применения решений уравнения Маркова к теории приближений действительных чисел рациональными, а также к другим областям математики. Исследование уравнения Маркова породило ряд глубоких результатов и открытых гипотез.
В последнее время большие продвижения были получены в изучении уравнения Маркова
$$x^2+y^2+z^2=3xyz \mod p,$$
рассматриваемого как сравнение по простому модулю $p$. До недавнего времени была полностью открытым вопросом гипотеза Ж.Бургейна о том, что все решения сравнения Маркова по простому модулю $p$ получаются как его целые решения, рассмотренные по модулю $p$. Доказательство этой гипотезы для достаточно больших $p$ было опубликовано китайско-американским математиком В.Ченом лишь в прошлом году. Доказательство оказалось чрезвычайно сложным, состоящим из нескольких составных частей, полученных разными математиками.
Мы обсудим идеи, лежащие в основе доказательства гипотезы. Оказывается, что имеет смысл рассматривать по модулю $p$ не только числа Маркова, но и числа Фибоначчи и другие интересные последовательности. Мы также обсудим некоторые свойства самого поля вычетов $\mathbb{Z}_p$. Эти понятия приводят как к решённым, так и к нерешённым задачам.
Лекции доступны для школьников. Необходимые понятия будут объяснены.
План

• Целые решения уравнения Маркова. Вывод дерева Маркова.
• Числа Маркова, цепные дроби и приближения действительных чисел рациональными.
• Свойства поля $\mathbb{Z}_p$, числа Фибоначчи в $\mathbb{Z}_p$ и их свойства.
• Уравнение Маркова над $\mathbb{Z}_p$, свойства графа Маркова. Идея доказательства гипотезы Бургейна.