Группы отражений и системы корней. Семинар 4

Группа отражений — это дискретная группа преобразований евклидова пространства (любой размерности), порождённая отражениями относительно гиперплоскостей (не менее, а, возможно, и более интересно рассматривать группы отражений в пространстве Лобачевского, но это отдельная история). Такие группы имеют замечательную структуру и связаны со многими вопросами алгебры и геометрии, и даже кристаллографии.
Мы обсудим, как устроены группы отражений и какая структура возникает на евклидовом пространстве, где они действуют, — разбиение на камеры, которые являются многогранниками Кокстера (все двугранные углы имеют вид $\pi/m$). Группы отражений, у которых камеры являются ограниченными многогранниками, принадлежат более широкому классу кристаллографических групп. Кристаллографические группы содержат в качестве подгруппы решётку параллельных переносов (теорема Шёнфлиса—Бибербаха) и могут рассматриваться как группы симметрий кристаллов. А с кристаллографическими группами отражений связаны замечательные «очень симметричные» конечные системы векторов в евклидовых пространствах, называемые системами корней. Как геометрический объект, системы корней наиболее естественно возникают в теории групп отражений, но имеют приложения далеко за её пределами: в теории алгебр Ли, в теории представлений колчанов, в алгебраической геометрии и пр.
Мы рассмотрим классификацию групп отражений и систем корней с помощью графов, называемых схемами Кокстера и Дынкина. Если позволит время, мы обсудим, как из этой классификации выводится классификация правильных многогранников в евклидовых пространствах любой размерности.
Для понимания курса достаточно знания линейной алгебры и евклидовой геометрии, а также базовых представлений о группах (что такое группа, её действие на множестве, орбита, стабилизатор и т.п.).