Divide et impera. Семинар 3

В самом общем виде задача выглядит так: имеется некоторое тело (или несколько тел, или облако точек, или несколько облаков), наша задача — разрезать его на равные по объёму части, экономя число разрезов. Мы начнём с простых задач и постепенно усложнимся.
Задачи для разминки, уже можно начать их решать, так как здесь достаточно идеи непрерывности:

• Для каждой плоской фигуры найдутся два взаимно перпендикулярных прямолинейных разреза, делящие фигуру на четыре равные по площади части.
• Для двух фигур на плоскости найдётся прямолинейный разрез, делящий каждую из них на две равные по площади части.
• Всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на шесть одинаковых по площади частей.
• Не всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на семь равных по площади частей.

Задачи, которыми мы займёмся:

• Для трёх тел в трёхмерном пространстве найдётся разрез плоскостью, делящий каждое из них на две равные по объёму части. Это так называемая теорема о бутерброде с ветчиной.
• Каждое трёхмерное тело тремя плоскими разрезами можно разделить на восемь равных по объёму частей.
• Можно ли каждое четырёхмерное тело четырьмя гиперплоскими разрезами разделить на шестнадцать равных по объёму частей? — это открытая проблема.
• В пятимерном пространстве не всякое тело режется пятью гиперплоскостями на 32 равные по объёму части — это внезапно просто.

И далее в том же духе с разными вариациями и приложениями.
Методы: Ручными методами сложные задачи про разрезания не решаются. Поэтому мы пройдём векторные расслоения, «игрушечный» класс Эйлера, кривую моментов и приличествующую случаю комбинаторику.
Это несложный курс, комбинация топологии, геометрии и комбинаторики. Слушателям хорошо понимать идею непрерывности отображений (не только непрерывность функций).