Коммутативные $C^*$-алгебры и преобразование Гельфанда. Семинар 1

Алгеброй называется множество с заданными на нем операциями сложения элементов и умножения их на числа и друг на друга, которые по своим свойствам аналогичны обычному сложению и умножению чисел. Алгебра называется коммутативной, если произведение любых двух ее элементов не зависит от порядка сомножителей.
Курс посвящен раскрытию двойственности между хаусдорфовыми топологическими пространствами (такими, как, например, подмножества $\mathbb{R}^n$) и коммутативными $С^*$-алгебрами. Мы докажем теорему Гельфанда о том, что топологические свойства пространства определяются свойствами алгебры непрерывных функций на нем и любая коммутативная $С^*$-алгебра это (с точностью до изоморфизма) алгебра непрерывных функций на некотором хаусдорфовом пространстве. Мы также вскользь (и без строгих формулировок) упомянем некоммутативный вариант вышеуказанной двойственности — теорему Гельфанда-Наймарка-Сигала о том, что любую $С^*$-алгебру можно реализовать как алгебру операторов действующих на некотором гильбертовом пространстве — и предъявим физическую интерпретацию указанных теорем:

• физическая наблюдаемая ↔ элемент алгебры
• состояние физической системы ↔ нормированный положительный линейный функционал над алгеброй

Пререквизиты: основы топологии, непрерывность, линейные пространства, комплексные числа.