Топологические размышления о вещественной прямой

Мы вспомним ряд красивых и знакомых для большинства теорем, касающихся вещественной прямой, обычного отрезка, непрерывных функций на прямой (а кто-то, может быть, познакомится с чем-то впервые), и постараемся показать, какую красивую и глубокую топологическую природу имеют эти теоремы. Мы увидим, что некоторые очень похожие, на первый взгляд, теоремы, оказываются связаны с очень разными понятиями и обобщениями. Мы, в частности, поговорим о связности, компактности, паракомпактности, полноте.
Предварительных знаний не требуется, а ряд сведений будет полезен в других курсах Дубны и не только.
Надеюсь упомянуть некоторые нерешенные задачи.