Аннотация:
Если взять веревку, связанную в кольцо, то для любого натурального числа $m$ ее можно намотать $m$ раз на окружность в $m$ раз меньшей длины. Говоря на математическом языке, веревку надо представлять себе как окружность $S^1$, состоящую из всех комплексных чисел $z$ таких, что $|z|=1$, а «наматывание» называется накрытием и сводится к тому, что для каждого $z\in S^1$ мы отождествляем друг с другом $m$ точек $z$, $\zeta z,\ldots$, $\zeta^{m-1}z$, где $\zeta=e^{2\pi i/m}$ есть корень $m$-ой степени из единицы. Если вместо окружности взять двумерную сферу $S^2$, то при $m=2$ у нас получится проективная плоскость $\mathbb{RP}^2$, а при $m>2$ ничего не получится — накрыть что-либо $m$-листно двумерной сферой нельзя.
Содержательная теория возникает, если в качестве исходного объекта взять трехмерную сферу $S^3$, которую удобнее всего представлять себе, как множество всех точек $(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2$ таких, что $|z_1|^2+|z_2|^2=1$. Мы могли бы поступить так же, как для окружности, а именно, для каждой точки $\mathbf{z}\in S^3$ отождествить друг с другом $m$ точек $\mathbf{z}$, $T(\mathbf{z}),\ldots\,$, $T^{m-1}(\mathbf{z})$, где $T(z_1,z_2)=(\zeta z_1,\zeta z_2)$. Однако теперь у нас появляется дополнительная возможность — зафиксировать целое число $q$, взаимно простое с $m$, и положить $T(z_1,z_2)=(\zeta z_1,\zeta^qz_2)$. Трехмерное многообразие, получающееся в результате такого отождествления, называется линзой и обозначается через $L(m,q)$.
Курс будет посвящен классической задаче топологии — классификации линз с точностью до гомеоморфизма — и ее решению Куртом Рейдемейстером (1935) при помощи замечательного инварианта — кручения, впоследствии названного его именем. Первым (и уже очень нетривиальным) следствием этой классификации является то, что линзы $L(5,1)$ и $L(5,2)$ не гомеоморфны друг другу. Также я планирую рассказать о результате Джона Милнора (1961), использовавшего линзы и кручение Рейдемейстера для построения двух гомеоморфных клеточных комплексов, не имеющих общего подразделения, и о том, как из теории кручений возникает важнейший инвариант узлов — многочлен Александера.
Для понимания курса потребуется знакомство с началами линейной алгебры (матрицы, определители, их основные свойства). Желательно (но не обязательно) хотя бы на интуитивном уровне понимать, что такое гомеоморфизм и фундаментальная группа.
