Дифференциальные уравнения эллиптического рода многообразий Калаби-Яу

ллиптической род многообразия - важная производящая функция, которая изучается в топологии и теории эллиптических когомологий, в теории автоморфных форм и теории струн. Эллиптический род комплексного многообразия размерности d с тривиальным первым классом Черна (например, многообразия Калаби-Яу) оказывается модулярной формой Якоби веса 0 и индекса d/2 с целыми коэффициентами Фурье. Форма Якоби - это голоморфная функция от двух переменных, которая модулярная по переменной тау из верхней полуплоскости и эллиптическая по комплексной переменной z. Эллиптический род трехмерного многообразия Калаби-Яу явно выражается в терминах классических тета-функций Якоби. Из этого сразу следует, что эллиптический род удовлетворяет дифференциальному уравнению первой степени относительно оператора теплопроводности.
Главный герой мини-курса - нечетная функция Якоби, открытая в первой половине XIX века, эллиптическое уравнение для которой мы перепишем в терминах целочисленной группы Гейзенберга.В курсе планируется начать с очень краткого введения в модулярные формы и формы Якоби с ясным и правильным описанием тета-функции Якоби от двух переменных. Далее мы разберем определение эллиптического рода и установим его автоморфные свойства, используя тройное произведение Якоби, формальное исчисление с корнями Черна комплексных многообразий и теорему Римана-Роха-Хирцебруха. В третьей части курса мы выведем явные дифференциальные уравнения для эллиптического рода многообразий Калаби-Яу комплексной размерности 2, 3, 4 и 5.