Аннотация:
Основная теорема алгебры — это утверждение о том, что поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ является алгебраически замкнутым, то есть что каждый многочлен
$f(z) \in \mathbb{C}[z]$ положительной степени имеет корень в $\mathbb{C}$. Данное свойство комплексных чисел служит фундаментом для
построения комплексной алгебраической геометрии.
На занятиях мы познакомимся с другим алгебраически замкнутым полем $\mathbb{C}\{\{t\}\}$, который называется полем рядов Пюизо. Подобно тому, как поле $\mathbb{C}$ содержит в себе кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ и поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$, поле рядов
Пюизо $\mathbb{C}\{\!\{t\}\!\}$ содержит в себе кольцо многочленов $\mathbb{C}[t]$ и поле рациональных функций $\mathbb{C}(t)$. К сожалению, элементы поля $\mathbb{C}\{\!\{t\}\!\}$ уже трудно представлять себе какими-то «числами». Однако, поле рядов Пюизо имеет одно замечательное свойство, заключающееся в том, что каждому его ненулевому элементу $x$ можно однозначно сопоставить некоторое рациональное число ${v}(x)$. Более того, если доопределить $v(0) := + \infty$, то
для любых $x,y \in \mathbb{C}\{\!\{t\}\!\}$ будут выполнены равенство
$v(x y) = v(x) + v(y)$ и неравенство $v(x+y)
\geq \min \{ v(x), v(y) \}$. Именно на этих свойствах функции $v\, :\, \mathbb{C}\{\!\{t\}\!\}
\to \mathbb{Q} \cup \{ + \infty\}$ основывается современная тропическая геометрия, которая связывает классическую алгебраическую геометрию с выпуклой комбинаторной геометрией.
Метод Ньютона можно рассматривать как одну из иллюстраций связи между выпуклой геометрией и алгеброй. Он позволяет найти значения функции $v$
на корнях $\rho_i$ многочлена $f(z)= \sum_{i=0}^n a_iz^i \in \mathbb{C}\{\!\{t\}\!\}[z]$, зная значения $v$ на его коэффициентах $a_i$.
Классический дискриминант$\Delta_n$ многочлена $f(z)$ степени $n$ представляет собой некоторое алгебраическое выражение от его коэффициентов $a_i$, рассматриваемых как независимые переменные, которое обращается в нуль тогда и только тогда, когда $f(z)$ имеет кратный корень. Например, $\Delta_2 = a_1^2 - 4 a_0a_2$.
Опираясь на метод Ньютона, будет дано доказательство теоремы Гельфанда—Зелевинского—Капранова, описывающей все вершины многогранника Ньютона классического дискриминанта $\Delta_n$ для любой степени $n$.
Для понимания курса достаточно знакомство слушателей с начальными понятиями алгебры, линейной алгебры и евклидовой геометрии.
