Топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве

В настоящее время активно изучаются интегрируемые биллиарды и их обобщения. Хорошо известно, что биллиарды на двумерных столах-книжках, введенные В. В. Ведюшкиной, реализуют слоения Лиувилля многих интегрируемых систем физики, механики и геометрии.
Предстоящий доклад будет посвящен описанию топологии слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве. Рассматриваются два вида таких систем: софокусные геодезические биллиарды на квадриках, а также биллиарды внутри трехмерных областей, ограниченных софокусными квадриками. Интегрируемость этих систем следует их знаменитой теоремы Якоби-Шаля о геодезических на эллипсоиде.
Получена полная лиувиллева классификация софокусных биллиардов на квадриках в $\mathbb{R}^3$, а именно, на эллипсоидах, однополостных и двуполостных гиперболоидах. Описано полулокальное устройство невырожденных особенностей трехмерных софокусных биллиардов. Оказывается, такие трехмерные биллиарды тесно связаны с плоскими софокусными биллиардами с отталкивающим потенциалом Гука.
Определены классы гомеоморфности неособых изоэнергетических поверхностей трехмерных софокусных биллиардов, а также биллиарда с потенциалом Гука внутри эллипсоида в $\mathbb{R}^3$. Как оказалось, они гомеоморфны либо сфере $S^5$, либо прямым произведениям $S^1\times S^4$, $S^2\times S^3$, либо их несвязному объединению.
Конференция: 841 7949 0520 Код: 991937