Аннотация:
Классическая формула Лефшеца выражает число Лефшеца диффеоморфизма гладкого многообразия (это число определяется в терминах действия диффеоморфизма на когомологиях многообразия) в виде суммы вкладов неподвижных точек диффеоморфизма. Позже Атья и Ботт получили аналог этой формулы, в котором когомологии многообразия заменяются на когомологии эллиптического комплекса дифференциальных операторов на многообразии. Результат Атьи и Ботта имеет многочисленные приложения и обобщения (см., например, работы Бисмю, Кордюкова, Назайкинского, Патоди, Стернина, Федосова, и др.)
В настоящем докладе будет дан аналог формулы Атьи-Ботта-Лефшеца для двух задач относительной эллиптической теории. В первом случае изучаются комплексы операторов, связанные с парой (M, X), где M - гладкое замкнутое многообразие, а X - его подмногообразие (эти комплексы включают в себя операторы сужения и косужения для подмногообразия); во втором — комплексы операторов, ассоциированные с расслоениями (эти комплексы содержат нелокальный оператор интегрирования по слою). Для этих комплексов формулируются условия эллиптичности, обеспечивающие фредгольмовость в пространствах Соболева. Далее рассматриваются геометрические эндоморфизмы: в первом случае — для пары (M, X), во втором — для послойных диффеоморфизмов тотальных пространств расслоений. Основным результатом являются теоремы типа Атьи–Ботта–Лефшеца, выражающие число Лефшеца соответствующих эндоморфизмов через неподвижные точки.
