Положительность частичных сумм последовательности $f(n)/n,$ где $f$ — случайная мультипликативная функция или случайный символ Лежандра

Туран в 1948 году предположил, что частичные суммы последовательности $\lambda(n)/n$ неотрицательны, где $\lambda$ – это функция Лиувилля, и показал, что из этого следует гипотеза Римана. Гипотеза Турана была опровергнута Хасельгровом в 1958 году. Рассмотрим вероятностную версию этой задачи. Пусть $f$ — вполне мультипликативная функция, принимающая значения на простых $±1$ с одинаковой вероятностью $1/2.$ Какова вероятность $P,$ что все частичные суммы последовательности $f(n)/n$ неотрицательны? Обозначим $P_x$ вероятность, что частичная сумма $f(n)/n$ от $1$ до $x$ отрицательна. Как быстро убывает $P_x$ при росте $x$? Анжело и Ху в 2022 году показали, что вероятность $P$ очень близка к $1$ и доказали оценку сверху на $P_{x},$ которая затем была улучшена Керром и Клюрманом. На докладе будет рассказано про новое значительное улучшение этой верхней оценки на $P_{x}.$ Мы также обсудим аналогичную задачу, в которой $f$ это символ Лежандра по модулю $p,$ где $p$ выбирается равномерно среди простых на отрезке $[x, 2x].$
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201