Аннотация:
Как правило, на многогранниках геодезический поток не рассматривают с точки зрения интегрируемости, поскольку поведение движущейся точки в вершинах, вообще говоря, корректно не определено. Однако есть несколько классов многогранных поверхностей, допускающих корректное доопределение траектории частицы, попавшей в вершину. К числу таких поверхностей относятся равногранные тетраэдры, т.е. тетраэдры, у которых сумма углов при каждой вершине равна $\pi$, а также равногранные двугранники, гранями которых являются треугольники одного из трех типов:
- правильные треугольники,
- прямоугольные равнобедренные треугольники,
- прямоугольные треугольники с острыми углами, равными $\pi/3$ и $\pi/6$.
Мы можем замостить плоскими развертками каждой из этих поверхностей всю плоскость и рассматривать траекторию движущейся частицы как прямую в $\mathbb R^2$. Траектории, не проходящие через вершины многогранников, будут являться локально-кратчайшими, т.е. геодезическими, а при попадании в вершину их можно считать биллиардными траекториями, поведение которых определяется по плоской развертке. Более того, мы показали, что других подходящих многогранных поверхностей, гомеоморфных сфере не существует.
Угол пересечения прямой траектории с ребрами поверхности на развертке остается постоянным с точностью до $\alpha$, где $\alpha\in \{\pi, 2\pi/3, \pi/2, \pi/3 \}$, в зависимости от того, какой многогранник рассматривается. То есть этот угол, взятый по модулю $\alpha$, является дополнительным первым интегралом. Его область значений — окружность. Следовательно, каждая такая динамическая система является интегрируемой по Лиувиллю (в кусочно-гладком смысле). Регулярные слои возникающего слоения Лиувилля являются двумерными торами. При этом, критических уровней у этих систем нет. Поэтому изоэнергетическое 3-многообразие в каждом случае является расслоением над окружностью со слоем 2-тор.
|
