Аннотация:
Доклад посвящен весовым структурам на триангулированных категориях и мотивировавшим создание этой теории категориям мотивов Воеводского.
В 1980х А. Бейлинсон сформулировал гипотезы о существовании т.н. смешанных мотивных
пучков $\operatorname{MM}(S)$ — аналога над (почти) произвольной базовой схемой $S$ гипотетической абелевой категории смешанных мотивов над полем.
Он также предположил существование фильтраций весов на мотивных пучках;
свойства этих понятий должны быть аналогичны свойствам смешанных $\ell$-адических превратных
пучков над многообразиями над конечными полями, а функторы $\operatorname{Ext}^*_{MM}$ должны вычисляться в терминах (высших) групп Чжоу.
В 90х началась работа над триангулированными
категориями мотивов $\operatorname{DM}(S,R)$ (а также над сходными с ними по свойствами категориями $K$-мотивов; здесь $R$ — кольцо коэффициентов). Для
широкого класса базовых схем
категории $\operatorname{DM}(-,\mathbb{Q})$ обладают почти всеми
(гипотетическими) свойствами производных категорий
$\operatorname{MM}(-)$.
В частности, разработанная
докладчиком абстрактная теория
позволяет определить некоторые “веса” для $\operatorname{DM}(S,R)$ в терминах весовой структуры ${w_{\operatorname{Chow}}}(S)$;
свойства “мотивных весов” аналогичны свойствам весов Делиня для смешанных комплексов этальных пучков,
а этальная реализация “переводит мотивные веса в этальные”. $\operatorname{DM}(S,R)$ и ${w_{\operatorname{Chow}}}(S)$ будут
рассмотрены в докладе (в том числе, над полями; в случае $S$ характеристики $0$ можно брать любое $R$, а если $\operatorname{char} S=p$, то
$R\ni 1/p$).
Они позволяют определить некоторые (мотивно-функториальные) фильтрации весов и весовые спектральные последовательности для реализаций $\operatorname{DM}(-,R)$ — а значит, и для соответствующих когомологий схем.
Категория $\operatorname{MM}(S)$ “должна” быть ядром т.н. мотивной $t$-структуры на $\operatorname{DM}(S)$. Компоненты этой $t$-структуры можно (“попробовать”) описать в терминах этальной реализации, однако
то, что они действительно задают $t$-структуру — очень сложная гипотеза. Докладчик доказал, что эта гипотеза сводится к некоторым “стандартным” мотивным гипотезам над полями, а “индуцированная” ${w_{\operatorname{Chow}}}(S)$ фильтрация весов на $\operatorname{MM}(S)$ обладает нужными свойствами, если $S$ — многообразие.
|
