Гиперповерхности Ферма, проективная двойственность и $n$-значные группы

Семейство $\{M^n_d\}$ многообразий Ферма, где $M^n_d$ гладкая гиперповерхность степени $d$ в комплексном проективном пространстве $\mathbb{C}P^{n+1}$, играет важную роль в задачах алгебраической топологии и алгебраической геометрии.
$d$-значные законы сложения в поле комплексных чисел были введены В.М. Бухштабером и С.П. Новиковым (1971) в связи с задачами алгебраической топологии. Оказалось, что эти законы задаются целочисленными однородными многочленами $p_d(z; x, y)$ степени $d$, которые играют важную роль в разных разделов математики и физики. Будет дано явное описание многочленов $p_d(z; x, y)$ в виде детерминантов матриц, которые являются обобщением классических матриц, введённых Вендтом (1894) в связи с Великой теоремой Ферма.
В докладе будет введено семейство $\mathbb{M}_d(\mathbb{C}P^1)$ алгебраических $d$-значных моноидов на $\mathbb{C}P^1$ и показано, что композиция проективной двойственности и преобразования Мебиуса $x,y,z\to 1/x,1/y,1/z$ задает сдвиг $\mathbb{M}_d(\mathbb{C}P^1)\to\mathbb{M}_{d-1}(\mathbb{C}P^1)$. Будет показано, что гиперповерхности, проективно двойственные многообразиям Ферма $M^n_d$, описываются целочисленными однородными многочленами $p_{d-1}(w^d; u_1^d, \ldots, u_{n+1}^d)$, задающими законы $(d-1)$-значного сложения $(n+1)$ слагаемых в поле комплексных чисел. В частности, для каждого d ≥ 2 поверхность, проективно двойственная поверхности $M^2_d$, задается уравнением $p_{d-1}(z^d; x^d, y^d) = 0$.
Основные определения и конструкции будут приведены в ходе доклада, детали см. в статьях [1] и [2].

Список литературы

1. Victor Buchstaber, Mikhail Kornev, Algebraic $n$-Valued Monoids on $\mathbb{C}P^1$, Discriminants and Projective Duality, 2025, arXiv: 2510.14010
2. Victor Buchstaber, Mikhail Kornev, $n$-Valued Groups, Kronecker Sums, and Wendt's Matrices, 2025, arXiv: 2505.04296