Аннотация:
В рамках исследований по сублоренцевой геометрии, являющейся обобщением математического аппарата общей теории относительности, был разработан новый математический аппарат ‒ выпуклая гиперболическая тригонометрия. В Лоренцевой геометрии длина времениподобной кривой интерпретируется как собственное время путешественника, а геодезические (длиннейшие кривые) соответствуют траекториям свободного движения. Классические методы отыскания геодезических оказываются неприменимы для широкого класса сублоренцевых пространств с произвольной вогнутой антинормой. Для решения этой проблемы авторами были введены новые специальные функции, обобщающие классические гиперболические функции на случай произвольной двумерной антинормы. Этот подход в купе с принципом максимума Понтрягина, позволил впервые в явном виде найти формулы для геодезических в сублоренцевых задачах на всех трехмерных унимодулярных группах Ли ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2)$, $\mathrm{SE}(2)$ и др.), а также на плоскости Лобачевского. Помимо этого, в работе с помощью известного аппарата выпуклой тригонометрии найдены явные формулы для геодезических в финслеровой задаче на группе Гейзенберга для норм, допускающих введение обобщенных сферических координат. Таким образом, работа дает полное описание экстремалей для широкого класса задач оптимального управления на группах Ли малой размерности.
Статьи по теме:
|
