Категорное поглощение особенностей и вырождения

Одна из самых широко используемых конструкций в алгебраической геометрии — конструкция разрешения особенностей Хиронаки — позволяет сводить многие вопросы об особых многообразиях к вопросам о гладких многообразиях. В цикле работ А. Кузнецова предложена новая конструкция, называемая поглощением особенностей, преследующая ту же цель, но лучше согласованная с деформациями многообразий.
Основное отличие поглощения особенностей от их разрешения в том, что эта операция не геометрическая, а категорная. Вместо того, чтобы рассмотреть новое гладкое многообразие, разрешающее особенности старого, рассматривается гладкая подкатегория в производной категории особого многообразия, ортогональное дополнение к которой содержит всю “особую” часть производной категории, тем самым как бы “поглощая” ее особенности. На геометрическом уровне такая конструкция принципиально невозможна, но на категорном уровне существуют содержательные и интересные примеры поглощающих особенности подкатегорий.
Один из таких примеров — поглощение обыкновенных двойных точек трехмерных многообразий — изучен в работе [1]. Оказалось, что для нефакториальных рационально связных трехмерных многообразий особенности могут быть поглощены очень маленькой подкатегорией — категорной обыкновенной двойной точкой. Более того, выяснилось, что при любом сглаживании такого многообразия, гладкая часть его производной категории непрерывно деформируется в полную производную категорию близких слоев.
В работе [2] поглощение обыкновенных двойных точек было использовано для описания связи производных категорий трехмерных многообразий Фано индекса 1 и 2. В частности, было установлено, что нетривиальные компоненты производных категорий многообразий Фано индекса 2 являются пределами нетривиальных компонент производных категорий соответствующих многообразий Фано индекса 1. Тем самым было найдено объяснение совпадения инвариантов этих категорий, обнаруженное в работе [3].

Список литературы

1. Alexander Kuznetsov, Evgeny Shinder, “Categorical absorptions of singularities and degenerations”, Épijournal de Géom. Algébr., EPIGA, 2024, 10836 , 42 pp., arXiv: 2207.06477v5      
2. A. G. Kuznetsov, E. K. Shinder, “Derived categories of Fano threefolds and degenerations”, Invent. Math., 239 (2025), 377–430    
3. А. Г. Кузнецов, “Производные категории трехмерных многообразий Фано”, Многомерная алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Василия Алексеевича Исковских, Тр. МИАН, 264, МАИК, М., 2009, 116–128        ; A. G. Kuznetsov, “Derived Categories of Fano Threefolds”, Proc. Steklov Inst. Math., 264 (2009), 110–122