Вычисление клейновых гиперэллиптических функций при помощи изогений Ришело

Клейновы гиперэллиптические функции представляют собой обобщение специальных функций Вейерштрасса на случай кривых рода > 1. В последние десятилетия, во многом благодаря работам Бухштабера, Энольского и Лейкина, возобновился интерес к этим функциям в связи с изучением интегрируемых систем. В этой работе предлагается подход к компьютерному вычислению клейновых функций, ассоциированных с комплексной кривой рода 2, аналогичный широко известному методу Ландена. Аналогом преобразования Ландена в случае рода 2 служит преобразование Ришело, сопоставляющее кривой рода 2 другую кривую, чья решетка периодов получена удвоением всех периодов из некоторой лагранжевой подгруппы. Связь клейновых функций, соответствующих этим кривым, может быть получена координатным вычислением изогении Ришело для поверхностей Куммера. В итоге, вычисление клейновых функций для данной кривой может быть сведено к другой кривой, изогеничной исходной. Итерации преобразования Ришело сводят задачу к вырожденной кривой, для которой клейновы функции выражаются через элементарные. Как и классический метод Ландена, описанная процедура имеет квадратичную скорость сходимости, а потому представляет собой эффективный подход к вычислению клейновых функций.