Аннотация:
Пусть $X$ – аффинное алгебраическое многообразие с действием редуктивной группы $G$. Рассмотрим некоторую $G$-орбиту и её замыкание. Если оно нормально, то его очень удобно изучать. Так как любое $G$-многообразие допускает замкнутое эквивариантное вложение в рациональный $G$-модуль, то логично изучать сразу $G$-орбиты в линейных представлениях. Первый результат был получен Костантом, который показал, что для любой $G$ нуль-конус в присоединённом представлении $G$ нормален. Далее Х. Крафтом и К. Прочези в 1979–1988 годах был изучен следующий вопрос: для каких простых групп замыкания всех орбит в присоединённом модуле нормальны? Этот вопрос до конца не изучен. Рассмотрение действия $G$ на паре пространств приводит нас к следующей задаче. Зафиксируем в $G$ максимальный тор $T$ и будем искать такие неприводимые $G$-модули $V$, для которых для любого $v$ из $V$ замыкание орбиты $Tv$ нормально. Для одной отдельно взятой орбиты $Tv$ на данный вопрос есть простой комбинаторный ответ — насыщенность соответствующего множества весов. В работах (Б+К, К, К) найдены все такие пары $(G,V)$, для которых замыкания всех $T$-орбит нормальны. В решении использован критерий для одной $T$-орбиты и строение множеств весов неприводимых представлений.
(Богданов, Куюмжиян) arXiv: 1105.4577
(Куюмжиян) arXiv: 0806.1981,
arXiv: 1009.4724
|
