Аннотация:
Доклад основан на моих (пока неопубликованных) дополнениях к [1], то есть к переведённому в 1959 году на русский язык сборнику арифметических работ Гаусса 1879-го года издания. Имеются и
переводы с латинского на немецкий, на английский, изданные соответственно в 1889 и 1966.
Пусть $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ — линейная группа унимодулярных целочисленных $2\times 2$-матриц, $D_0$ — ненулевое целое число. Примитивная (точнее, собственно примитивная) бинарная квадратичная форма с детерминантом $D_0$ — это
$f(x,y) =ax^2+2bxy+cy^2$,
коэффициенты $a,2b,c$ — целые числа с единичным общим делителем (и $b$ — целое ),
$D_0(f)=b^2-ac$. При действии линейной унимодулярной замены переменных $x,y$ все упомянутые свойства сохраняются. Иногда рассматриваются формы $f(x,y) =ax^2+bxy+cy^2$, то есть допускается и нечётный средний коэффициент $b$, их
дискриминант — это $D_1(f)=b^2-4ac$. Для таких чуть более общих целочисленных форм описание формы $F$, оказывающейся композицией форм $f, f'$ (кратко, $F=f*f'$), представлено следующим образом:
$$AX^2+BXY+CY^2=(ax^2+bxy+cy^2)(a'u^2+b'uv+c'v^2),
\\
X=pxu+p'xv+p''yu+p'''yv, \quad Y=qxu+q'xv+q''yu+q'''yv,$$
причём $2\times 2$-миноры составленной из целых чисел $p,p', p'', p''', q, q',q'',q'''$ матрицы
$$ \left ( \begin{array}{cccc}
p &p'&p''&p'''\\
q& q'&q''&q'''\\
\end{array} \right )$$
порождают тот же самый идеал, что и коэффициенты $A,B,C$ формы $F$.
Отмечу, что далеко не для каждых двух форм $f, f'$ определена композиция, а если и определена, то может оказаться, что результаты $F$ различны (даже не обязательно $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})$-эквивалентны!).
Для последнего факта, не совсем точная аналогия — извлечение кубического корня из произведения двух комплексных чисел.
После предыдущего пессимистического замечания отмечу, что для двух примитивных форм с одинаковым детерминантом $D_0$ (как и для двух примитивных форм, имеющих нечётный средний коэффициент и одинаковый дискриминант $D_1$)
композиция всегда определена, результат — форма с таким же дискриминантом. На самом деле, речь идёт о композиции классов $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-эквивалентности, но при этом классы описываются с помощью
их канонических представителей. Для некоторых дискриминантов всё настолько однозначно, что таблицы умножения классов представляют собой таблицу умножения для абелевой группы, являющейся прямым произведением циклических групп второго
порядка. Точнее, как показал Гаусс, классы положительных примитивных форм, детерминант $D_0$ которых — взятое со знаком минус удобное число Эйлера (одно из шестидесяти пяти таких) — это упомянутая абелева группа, порядок которой
равен одному из чисел 1, 2, 4, 8, 16. Нейтральным элементом в таких группах является класс формы $f_0(x,y) =x^2-D_0y^2$ (для форм с нечётной серединой, $f_0=x^2+xy+my^2$). Прочих представителей имеется три вида.
Это, во-первых, обобщение предыдущей формы, т.е.
$mx^2-ny^2$$m<n$, $mn=D_0$,
во-вторых, формы с двумя совпадающими коэффициентами, точнее, $2bx^2+2bxy+cy^2$, $ax^2+2bxy+ay^2$.
Если не считать $f_0$, то среди упомянутых представителей нет так называемых самодупликативных форм, то есть совпадающих со своей самокомпозицией: $f=f*f$. Любопытно, что над полиномиальным кольцом $\mathbb{Z}[a_0, a_1, a_2,a_3]$, где $a_0, a_1, a_2,a_3$ — независимые переменные, существует естественная самодупликативная форма
$$(a_1^2-a_0a_2)x^2+(a_1a_2-a_0a_3)xy+(a_2^2-a_1a_3)y^2,$$
которая является нормированным гессианом бинарной кубики
$a_0x^3+3a_1x^2y+3a_2xy^2+a_3y^3$, и все примитивные самодупликативные бинарные квадратичные формы (со средним коэффициентом произвольной чётности) получаются как гессианы кубик при подходящей целочисленной
специализации величин
$a_0, a_1, a_2,a_3$. Добавлю, что каждая бинарная форма нечётной степени имеет квадратичные коварианты, но пока не могу сказать ничего содержательного о композиционных свойствах этих ковариантов.
Отмечу, что наличие форм, удовлетворяющих тождеству $f=f*f$, заставило Гаусса и многих его последователей искать и находить такие эквивалентности $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-классов квадратичных форм,
при которых самодупликативные формы становятся эквивалентными
нейтральному элементу с тем же дискриминантом, а новые классы эквивалентности образуют группу относительно операции композиции. О других тождествах, инициирующих поиски аналогичных укрупнений эквивалентностей, я не упоминаю.
Наиболее популярные классы эквивалентности — так называемые роды ($genera$) форм, причём иногда у разных математиков встречаются существенно разные определения рода. Для конструкции рода и для описания его свойств, Гаусс
использует мультипликативные (относительно композиции) характеры форм. Эти характеры могут принимать лишь значения $+1$, $-1$. Моё объяснение такой ограниченности значений — формулы
$$ f_0=f*f, \quad f=f*f*f.$$
Кстати сказать, вторая формула позволяет построить много непримитивных самодупликативных форм, это $f(\lambda , \mu)f$, где $\lambda , \mu$ — целые числа, $f(\lambda , \mu)\neq 0$.
У меня другой подход к проблеме построения групп из форм. Не надо тасовать $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-классы по коллективам, надо воспользоваться упомянутой выше таблицей композиционного умножения этих классов
(с фиксированным дискриминантом) и выбрать подтаблицу, являющуюся
таблицей умножения в некоторой группе. Используя свободу выбора, предоставляемую табличными клетками с двумя или тремя элементами. Отмечу, что даже для некоторых самодупликативных форм $f$ имеются три
неэквивалентные формы, представляющие значения $f*f$. И что для некоторых дискриминантов таблицы настолько богаты, что поиск групповой подтаблицы приводит к неизоморфным группам. Например, для $D_0=-365$
положительные примитивные формы
позволяют сформировать две неизоморфные группы порядка 20. Одна — произведение двух циклических групп порядков 2 и 10, другая — произведение двух циклических групп порядков 4 и 5.
Список литературы [1] К.Ф. Гаусс, Труды по теории чисел,
Издательство Академии Наук СССР, Москва (1959).
Gauss C. F., Disquisitiones Arithmeticae (1879).
