Аннотация:
Конечный неориентированный простой граф $\Gamma$ называется накрытием графа $K_n$ (т.е. полного графа на $n$ вершинах), если множество вершин графа $\Gamma$ допускает разбиение на $n$ коклик (называемых фибрами накрытия) одинакового размера $r\ge 2$, такое что объединение любых двух различных фибр индуцирует совершенное паросочетание. Легко показать, что такое накрытие является антиподальным диаметра $3$ тогда и только тогда, когда любые две несмежные вершины из различных фибр имеют ненулевое число общих соседей. Изучение антиподальных накрытий диаметра $3$ представляет особый интерес из-за их важных приложений в теории кодирования (например, в задачах поиска новых примеров $1$-совершенных кодов в графах) и комбинаторике (например, в задачах построения равноугольных множеств прямых). До сих пор значительное внимание уделялось классификации антиподальных накрытий диаметра $3$, обладающих дополнительными свойствами реберной транзитивности и дистанционной регулярности (см. обзор в [1]). В докладе мы опускаем второе требование и
исследуем класс реберно-транзитивных антиподальных накрытий диаметра 3 в общем случае. Каждая реберно-транзитивная группа $G$ автоморфизмов антиподального накрытия диаметра $3$ индуцирует $2$-однородную группу подстановок $G^{\Sigma}$ на множестве $\Sigma$ его фибр, которая ввиду теорем Кантора и Бернсайда является либо аффинной, либо почти простой. В случае почти простой группы $G^{\Sigma}$ классификация накрытий со свойством дистанционной регулярности была завершена в работе автора [2], в которой также был найден ряд новых конструкций накрытий диаметра $3$, не являющихся дистанционно-регулярными и обладающих арк-транзитивной простой группой $G$. Однако до настоящего времени не было известно ни одной конструкции антиподальных накрытий диаметра $3$, допускающих полутранзитивную (т.е. реберно-, но не арк-транзитивную) простую группу автоморфизмов. Мы покажем, что такие накрытия действительно существуют. А именно,
мы представим конструкцию нового бесконечного семейства
антиподальных накрытий диаметра $3$, допускающих полутранзитивную группу автоморфизмов, изоморфную простой группе Судзуки $Sz(q)$, $q\ge 8$.
Как следствие, мы получим новое бесконечное семейство реберно-транзитивных графов, допускающих разбиение множества вершин на совершенные 1-коды.
Теорема.
Пусть $G = Sz(q)$ — это простая группа Судзуки, где $q > 4$,
$S$ — это произвольная силовская $2$-подгруппа в $G$ (подгруппа порядка $q^2$), $S_1$ — это подгруппа в $S$ индекса $2$ и
$M := N_G(S)$ — нормализатор группы $S$ в $G$.
Зафиксируем произвольно некоторые инволюцию $g$ из $G-M$ и элемент $y$ порядка $4$ из $S - S_1$ такие что $|yg|=4$.
Пусть $D = S_1(yg)S_1 \cup S_1(yg)^{-1}S_1$ и
$\Gamma := \Gamma(G, S_1, D)$ — это граф на множестве правых смежных классов группы $G$ по подгруппе $S_1$, в котором $$
S_1 x \text{ смежна с } S_1 z \iff x z^{-1} \in D.
$$
Тогда $\Gamma$ — это $G$-полутранзитивное антиподальное $2(q-1)$-накрытие графа $K_{q^2 + 1}$ и $d(\Gamma)=3$ при любом выборе
подгрупп $S$, $S_1$ и элементов $y$, $g$, удовлетворяющих заданным выше условиям.
Его полная группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(\Gamma)\le Z_2 \times \operatorname{Aut}(Sz(q))$ арк-транзитивна.
Работа выполнена при частичной поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках проекта развития регионального научно-образовательного математического центра «Уральский математический центр» (соглашение 075–02–2025–1719/1).
Список литературы [1] L.Yu. Tsiovkina.
On vertex-transitive distance-regular covers of complete graphs with an extremal smallest eigenvalue, arXiv: math.CO/2412.11962 (2024).
[2] L.Yu. Tsiovkina. Covers of complete graphs and related association schemes. J. Comb. Theory Ser. A. 191 (2022), article 105646.
