Аннотация:
Доклад основан в том числе на совместной работе с К. Шахматовым и Д. Чунаевым (в процессе написания).
Пусть $X$ — неприводимое аффинное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Будем называть $\mathbb{G}_a$-действиями алгебраические действия аддитивной группы основного поля.
Напомним, что точка $x\in X$ называется гибкой, если её касательное пространство порождается касательными векторами к орбитам $\mathbb{G}_a$-действий. Рассмотрим группу $\mathrm{SAut}(X)$ специальных автоморфизмов на $X$, то есть подгруппу в группе всех регулярных автоморфизмов, порождённую всеми алгебраическими подгруппами, изоморфными аддитивной группе основного поля.
В работе [1] показано, что гибкие точки, если они есть, образуют открытую $\mathrm{SAut}(X)$-орбиту $\mathcal{O}\subseteq X$. Многообразия, обладающие хотя бы одной (и следовательно открытым множеством) гибких точек, называются обобщённо гибкими. Если $\mathcal{O}$ совпадает с множеством гладких точек $X^{\mathrm{reg}}$ в $X$, то многообразие называется гибким. Наконец, если коразмерность $X\setminus\mathcal{O}$ в $X$ не менее 2, то $X$ называется гибким в коразмерности один.
Интерес к гибким многообразиям обусловлен тем, что в работе [1] для аффинных многообразий $X$ размерности хотя бы 2 доказана эквивалентность трёх условий: 1) гибкости $X$, 2) транзитивности действия $\mathrm{SAut}(X)$ на $X^{\mathrm{reg}}$ и 3) бесконечной транзитивности действия $\mathrm{SAut}(X)$ на $X^{\mathrm{reg}}$. Последнее условие заключается в том, что для любого натурального $m$ и для любых двух упорядоченных наборов $(a_1,\ldots, a_m)$ и $(b_1,\ldots, b_m)$ попарно различных точек существует $\varphi\in\mathrm{SAut}(X)$ такой, что $\varphi(a_j)=b_j$ для всех $j$.
Ранее была известна только одна серия примеров обобщённо гибких, но не гибких многообразий, построенная в работе [3]. Данная серия примеров состоит из гладких поверхностей Гизатуллина, имеющих в дополнении к $\mathcal{O}$ конечное число неподвижных точек. Соответственно, все эти примеры были гибкими в коразмерности один.
В докладе мы обсудим построение серии многообразий, дающих примеры обобщённо гибких, но не гибких в коразмерности один многообразий в произвольной размерности не менее $4$, см. [2]. Также будет доказано, что при переходе от многообразия к его тотальному координатному пространству обобщённая гибкость может не сохраняться, а гибкость в коразмерности один сохраняется. Исследования поддержаны грантом РНФ 25-21-00277.
Список литературы [1] I. Arzhantsev, H. Flenner, S. Kaliman, F. Kutzschebauch, M. Zaidenberg. Flexible varieties and automorphism groups. Duke Math. J. 162 (2013), no. 4, 767–823.
[2] S. Gaifullin. Generically flexible affine varieties with invariant divisors, arXiv: math.AG/2507.14745 (2025).
[3] S. Kovalenko. Transitivity of Automorphism Groups of Gizatullin Surfaces. Int. Math. Res. Not. 2015 (2015), no. 21, 1433–1484.
