О поиске относительно максимальных подгрупп в конечных группах

Пусть $\mathfrak{X}$ — фиксированный класс конечных групп со свойствами, напоминающими свойства разрешимых групп, а именно:

если $H\leqslant G$ и $G\in \mathfrak{X}$, то $H\in \mathfrak{X}$;

если $H\unlhd G$ и $G\in \mathfrak{X}$, то $G/H\in \mathfrak{X}$;

если $H\unlhd G$ и $H,G/H\in \mathfrak{X}$, то $G \in \mathfrak{X}$.
В докладе будет обсуждаться следующая естественная проблема.
Проблема. Дана конечная группа. Найти ее максимальные $\mathfrak{X}$-подгруппы.
Будут обсуждаться связанные с данной проблемой трудности, а также основанные на идеях Х. Виланда [1], [2] возможные способы их преодоления.
Частным случаем отмеченной проблемы служит задача нахождения (максимальных) разрешимых подгрупп в симметрической группе, идущая от классических работ Галуа и Жордана [3], [4], [5] и окончательное решение которой получено совсем недавно [6].

Список литературы
[1] H. Wielandt. Zusammengesetzte Gruppen: Hölder Programm heute. Finite groups (Santa Cruz Conf., 1979), Proc. Symp. Pure Math. 37, AMS, Providence, RI, 1980, 161–173.
[2] H. Wielandt. Zusammengesetzte Gruppen endlicher Ordnung. Vorles. Univ. Tübingen, 1963/64. In: Helmut Wielandt: Mathematical Works 1, de Gruyter, Berlin, 1994, 607–655.
[3] E. Galois. Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux. J. Math. Pures Appl. (Liouville) 11 (1846), 417–433.
[4] C.M. Jordan. Commentaire sur le Mémoire de Galois. Comptes rendus 60 (1865), 770–774.
[5] C.M. Jordan. Traité des substitutions et des équations algébriques. Gauthier–Villars, Paris, 1870.
[6] M. Korhonen. Maximal solvable subgroups of finite classical groups. Springer Sham, 2024.