Аннотация:
Пусть $A$ — не обязательно ассоциативная алгебра над полем $\mathbb{F}$ нулевой характеристики. Обозначим через $P_n\left(A\right)$ пространство полилинейных тождеств степени $n$ алгебры $A$, т.е. множество некоммутативных неассоциативных однородных многочленов $f\left(x_1,\ldots, x_n\right)$ степени $n$, линейных по каждой переменной, таких, что $f\left(a_1,\dots,a_n\right) = 0$ для любых $a_1, \ldots, a_n \in A$.
Обозначим через $L_{v}$ и $R_{v}$ операторы умножения на $v$ слева и справа, и определим оператор $M_{v}^{r}$, $r \in \mathbb{Z}_2$, положив $M_{v}^{0} = L_{v}$ и $M_{v}^{1} = R_{v}$. Тогда любой моном $u \in P_n$ для любого $1 \leqslant i \leqslant n$ может быть записан как $u = x_i M_{v_1}^{r_1}\cdots M_{v_k}^{r_k}$, где $k < n$.
Определим линейные операторы $\pi_{i}\colon P_n \mapsto P_n$, положив
$$
\pi_{i} \cdot u = x_i M_{v_k}^{r_k+1} \cdots M_{v_1}^{r_1+1}.
$$
Если любое полилинейное тождество алгебры $A$ под действием любого оператора $\pi_i$ преобразуется снова в тождество алгебры $A$, то говорят, что идеал тождеств алгебры $A$ устойчив.
Теорема 1. Если на алгебре $A$ определена невырожденная, ассоциативная, симметричная билинейная форма, то идеал тождеств алгебры $A$ устойчив.
Обозначим через $\Pi_n$ группу, порожденную операторами $\pi_i$, $i=1..n$, действующими на пространстве $P_n$.
Теорема 2. Имеет место изоморфизм $\Pi_n \cong S_{n+1}$. Кроме того, $\Pi_n$ содержит в качестве подгруппы группу $S_n$, действующую на $P_n$ переименованием переменных:
$$
\sigma \cdot f \left(x_1,\ldots, x_n\right) = f\left(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots, x_{\sigma\left(n\right)}\right).
$$
Последняя теорема показывает, что перестановки $\sigma \in S_n$ можно рассматривать как элементы группы $\Pi_n$. Определим операторы $\bar \pi_k$, $k=1..n$, положив $\bar \pi_k = \left(1\,2\,\ldots\, n\right)^{n-k} \left(1\,2\,\ldots\, k\right) \pi_k$.
Утверждение 3. Тождественное преобразование и операторы $\bar \pi_k$, $k=1..n$, образуют подгруппу в $\Pi_n$, изоморфную $\mathbb{Z}_{n+1}$.
Обозначим через $T_n$ множество мономов из $P_n$ таких, что после “стирания” в них скобок получается слово $x_1\cdots x_n$. Как оказывается, действие операторов $\bar \pi_k$ может быть ограничено на множество $T_n$, т.е. операторы $\bar \pi_k$ не меняют порядок переменных в мономах из $T_n$, а преобразуют только расстановку скобок.
Как известно, множества $T_n$ являются одним из многочисленных примеров множеств, мощности которых образуют последовательность чисел Каталана. Более точно, $\left|T_n\right| = C_{n-1}$. В частности, существует естественная биекция $\phi$ между мономами из $T_n$ и триангуляциями правильных $(n+1)$-угольников, — другим примером комбинаторных структур, подсчитываемых числами Каталана. Оказывается, что операторы $\phi^{-1} \bar \pi_k \phi$ являются операторами поворота $(n+1)$-угольника.
Список литературы [1] А.В. Попов. Устойчивые многообразия неассоциативных алгебр.
Алгебра и логика, в печати.
