Аннотация:
Пусть $Q=(V,A)$ — колчан, где $V$ — множество вершин и $A$ — множество ребер.
Каждое ребро $\alpha\in A$ имеет начало (source) ${s(\alpha)}$ и вершину (target) ${t(\alpha)}$.
Сопоставим каждой вершине $v$ натуральное число $n_v$. Пусть $K$ поле.
Каждому ребру $\alpha$ сопоставим линейное пространство
$\mathcal{H}_\alpha$ матриц размера $n_{t(\alpha)}\times n_{s(\alpha)}$.
Для каждой вершины $v\in V$ определена группа $\mathrm{GL}_v=\mathrm{GL}(n_v)$ с элементами в поле $K$ и ее унитреугольная подгруппа $U_v=\mathrm{UT}(n_v)$, состоящая из всех верхнетреугольных $(n_v\times n_v)$-матриц с единицами на диагонали.
Рассмотрим прямое произведение $G=\mathrm{GL}_Q=\prod_{v\in V}\mathrm{GL}_v$, его подгруппу $U=U_Q=\prod_{v\in V} U_v$ и линейное пространство
$$\mathcal{H}= \mathcal{H}_Q=\oplus_{\alpha\in A} \mathcal{H}_\alpha.$$
Группа $G$ действует в пространстве $\mathcal{H}$ по формуле
$$g.h=(g_{t(\alpha)} X_\alpha g_{s(\alpha)}^{-1})_{\alpha\in A}, \quad g= (g_v) \in G, \quad h=(X_\alpha)\in\mathcal{H}.$$
Ставится задача построения сечения для представления группы $U$ в пространстве $\mathcal{H}$ и нахождения системы свободных образующих элементов в поле $U$-инвариантов $K(\mathcal{H})^U$.
Зафиксируем линейный порядок на множестве ребер $A$. В докладе будет представлен алгоритм построения сечения представления $U$ в $\mathcal{H}$ и системы свободных образующих элементов в поле $U$-инвариантов $K(\mathcal{H})^U$.
Доклад основан на работе [3]. Ранее поставленные задачи были решены для случая присоединенного действия на системе матриц (см. [1]) и для случая равноразмерного представления (см. [2]).
Список литературы [1] A.N. Panov. Fields of $U$-invariants of matrix tuples.
Electronic Journal of Linear Algebra 39 (2023), 117–123.
[2] A.N. Panov. Equidimensional quiver representations and their $U$-invariants. Journal of Algebraic Combinatorics 61 (2025), article 22.
[3] A.N. Panov. Fields of $U$-invariants of quiver representations.
Linear and Multilinear Algebra, сдана в печать.
