$6j$-символы для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n$

Доклад основан на работе автора [1].
Рассмотрим неприводимые представления $V^1$, $V^2$, $V^3$ данной алгебры и рассмотрим их тензорное произведение $V^1\otimes V^2\otimes V^3$. Скобки в данном произведении могут быть расставлены двумя способами:

$$ (V^1\otimes V^2)\otimes V^3 \text{ или } V^1\otimes (V^2\otimes V^3). $$

Соответственно, в сумму неприводимых $V^1\otimes V^2\otimes V^3$ можно раскладывать двумя способами.
1. Первый способ. Сначала раскладываем на неприводимые $V^1\otimes V^2$:

\begin{equation} \label{r1} V^1\otimes V^2=\bigoplus_U Mult_{U}^{V^1,V^2}\otimes U, \end{equation}
где $U$ — неприводимое представление, а $Mult_{U}^{V^1,V^2}$ — пространство кратности. Это векторное пространство, не снабженное действием $g$. Умножая \eqref{r1} тензорно на $V^3$ справа, получаем

\begin{equation} \label{rr1} (V^1\otimes V^2)\otimes V^3=\bigoplus_{U,W} Mult_{U}^{V^1,V^2}\otimes Mult_{W}^{U,V^3}\otimes W \end{equation}

2. Второй способ. Сначала раскладываем $V^2\otimes V^3$:

\begin{equation} \label{r2} V^2\otimes V^3=\bigoplus_U Mult_{H}^{V^2,V^3}\otimes H, \end{equation}

и далее

\begin{equation} \label{rr2} V^1\otimes (V^2\otimes V^3)=\bigoplus_{H,W} Mult_{H}^{V^2,V^3}\otimes Mult_{W}^{V^1,H}\otimes W. \end{equation}

Имеется изоморфизм $\Phi\colon (V^1\otimes V^2)\otimes V^3 \rightarrow V^1\otimes (V^2\otimes V^3)$, который даёт отображение

\begin{equation} \label{ph} \Phi\colon \bigoplus_{U} Mult_{U}^{V^1,V^2}\otimes Mult_{W}^{U,V^3}\rightarrow \bigoplus_{H} Mult_{H}^{V^2,V^3}\otimes Mult_{W}^{V^1,H} \end{equation}



Определение. Отображение Рака — это индуцированное $\Phi$ отображение

\begin{equation} \label{wrm} \mathcal{R}\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U\\ V^3 & W &H \end{Bmatrix}: Mult_{U}^{V^1,V^2}\otimes Mult_{W}^{U,V^3}\rightarrow Mult_{H}^{V^2,V^3}\otimes Mult_{W}^{V^1,H}. \end{equation}



После выбора базиса в пространствах кратности появляются матричные элементы данного отображения. Они называются коэффициентами Рака. Из этого определения ясно значение данных коэффициентов с точки зрения теории представлений. Рассмотрим категорию конечномерных представлений и перейдём к её кольцу Гротендика. Фактически это означает переход от категории представлений к кольцу их характеров. При этом переходе теряется часть информации о категории представлений. Например, информация, заключенная в коэффициентах Рака. В некоторых случаях по кольцу Гротендика и коэффициентам Рака категория представлений восстанавливается.
Пусть $s_1,s_2,s_3,s_3$ — индексы базисных векторов в четырёх пространствах кратности, участвующих в формуле \eqref{wrm}. Пусть $\bar{s}_i$ — индексы двойственных базисных векторов в двойственных пространствах. Тогда $6j$-символ определяется следующим образом через коэффициент Рака:

$$ \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U\\ V^3 & W &H \end{Bmatrix}^{s_1,s_2}_{s_3,s_4}:=\mathcal{R}\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U\\ V^3 & W &H \end{Bmatrix}^{\bar{s}_1,\bar{s}_2}_{s_3,s_4} $$

При вычислении проще работать именно с $6j$-символами.
Общая формула для $6j$-символа даже для $\mathfrak{gl}_3$ была неизвестна до недавнего времени. Явные формулы были получены только для некоторых классов представлений.
В докладе будет приведена конструкция индексов $s_i$ (правда, перечисляющие не базисные векторы, а порождающие векторы в соответствующем пространстве кратности) и приведена явная формула для произвольного $6j$-символа для алгебры $\mathfrak{gl}_n$.

Список литературы
[1] Д.В. Артамонов. Вычисление $6j$-символов для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n$. Сиб. матем. журн. 66 (2025), no. 4, 551–569, см. также arXiv: math.RT/2405.05628v2.