Аннотация:
Пусть $(W,S)$ — система Кокстера. Обозначим через $T$ подмножество $W$, состоящее
из всех элементов $wsw^{-1}$, где $w\in W$ и $s\in S$. Элементы множества $T$ называются отражениями
системы $(W,S)$, а элементы множества $S$простыми отражениями.
Рассмотрим конечномерное представление $\rho\colon W\to\mathrm{GL}(V)$ над полем характеристики, отличной от $2$.
Удобно представить, что $W$ действует на $V$ по правилу $w\cdot v=\rho(w)(v)$.
Мы предполагаем, что это представление точное и что в нём каждое отражение $t\in T$ действует
как отражение на $V$. Это значит, что существует вектор $\alpha_t\in V$ и ковектор $\alpha_t^\vee\in V^*$
такие, что $\alpha_t^\vee(\alpha_t)=2$ и
$$
\forall v\in V: \; t\cdot v=v-\alpha^\vee_t(v)\alpha_t.
$$
В этом случае, $\alpha_t$ и $\alpha_t^\vee$ называются корнем и кокорнем отражения $t$.
Заметим, что выполнение этого свойства достаточно потребовать только для простых отражений.
Кроме того, мы потребуем выполнение следующего GKM-условия (названного по мотивам статьи М. Горески, Р. Коттвица,
Р. Макферсона [1]):
$$
t\ne t'\Rightarrow \alpha_t\text{ и }\alpha_{t'}\text{ непропорциональны}.
$$
Это условие выполняется, например, для геометрического представления группы $W$.
Пусть $R$ — симметрическая алгебра пространства $V$. Эта алгебра градуирована так, что $R^2=V$.
Действие $W$ на $V$ продолжается до однородного действия на $R$.
Для каждого $t\in T$ рассмотрим кольцо инвариантов $R^t=\{r\in R\mid t\cdot r=r\}$ и для
последовательности $\underline{t}=(t_1,\ldots,t_n)$ элементов из $T$ (отражений) рассмотрим градуированный $R$-$R$-бимодуль:
$$
R(\underline{t})=R\otimes_{R^{t_1}}\!\!R\otimes_{R^{t_2}}\!\cdots\otimes_{R^{t_n}}\!\!R.
$$
Мы назовём его обобщённым бимодулем Ботта–Самельсона. Прилагательное «обобщённый»
в этом случае подчёркивает тот факт, что элементы последовательности $\underline{t}$ могут быть любыми отражениями из $T$.
Таким образом, бимодули Ботта–Самельсона соответствуют случаю, когда $\underline{t}$ — последовательность элементов из $S$.
Теорема (Щиголев). Для любых последовательностей отражений $\underline{t}$ и $\underline{t}'$ пространство градуированных
гомоморфизмов $\mathrm{Hom}^\bullet_{R\otimes R}(R(\underline{t}),R(\underline{t}'))$
является рефлексивным как левым, так и правым $R$-модулем.
Здесь уместно провести аналогию с обычными бимодулями Ботта–Самельсона. Согласно результату В. Зёргеля [3],
пространство $\mathrm{Hom}^\bullet_{R\otimes R}(R(\underline{t}),R(\underline{t}'))$ является свободным правым и левым $R$-модулем в случае,
когда $\underline{t}$ и $\underline{t}'$ — последовательности простых отражений.
Градуированный ранг этого модуля даётся Hom-формулой Зёргеля [3, Theorem 5.15].
Более того, свободный базис такого модуля был построен Н. Либединским [2].
Для обобщённых бимодулей Ботта–Самельсона ситуация радикально отличается, как показывает следующий результат.
Теорема (Щиголев). Для любой группы Кокстера, содержащей подсистему типа $A_n$, где $n\ge3$, существует
последовательность отражений $\underline{t}$ длины $2n+1$ такая, что пространство
$\mathrm{Hom}^\bullet_{R\otimes R}(R,R(\underline{t}))$ не свободно ни как левый, ни как правый $R$-модуль.
Проективная размерность этого модуля равна 1, в то время как проективная размерность
двойственного модуля равна $n-2$.
Список литературы [1] M. Goresky, R. Kottwitz, R. MacPherson. Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem. Invent. Math. 131 (1997), 25–83.
[2] N. Libedinsky. Sur la catégorie des bimodules de Soergel. J. Algebra 320 (2008), 2675–2694.
[3] W. Soergel. Kazhdan-Lusztig-Polynome und unzerlegbare Bimoduln über Polynomringen. J. Inst. Math. Jussieu 6 (2007), no. 3, 501–525.
