Аннотация:
Пусть $G$ — связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. И пусть $X$ — сферическое $G$-многообразие, то есть многообразие, для которого борелевская подгруппа $B$ группы $G$ имеет открытую орбиту.
В докладе мы обсудим, в каких случаях $B$-нормализованное $\Bbb G_a$-действие ($B$-корневая подгруппа) может сдвигать замыкания $G$-орбит, а также дадим условия того, что данная корневая подгруппа сохраняет замыкание $G$-орбиты.
А именно, мы обсудим следующие результаты.
Теорема 1. Пусть $X$ — аффинное сферическое $G$-многообразие и пусть $\partial X \subset X$ замкнутое $G$-подмногообразие. Пусть $Y$ — $G$-орбита, содержащаяся в множестве регулярных точек $X^{\operatorname{reg}}$ и не лежащая в $\partial X$. Тогда для любой минимальной $G$-орбиты $Y'$, содержащей орбиту $Y$ в своем замыкании и не совпадающей с ней, существует $B$-корневая подгруппа на $X$, сохраняющая границу $\partial X$ и соединяющая $Y$ с $Y'$.
Теорема 2. Пусть $X$ — квазиаффинное сферическое $G$-многообразие и пусть $R$ — $B$-корневая подгруппа, действующая на $X$. Пусть $Y \subset X^{\operatorname{reg}}$ такая $G$-орбита, что все $B$-инвариантные простые дивизоры на $X$, не содержащие $Y$, инвариантны относительно $R$. Пусть $R$ соединяет $Y$ с некоторой $G$-орбитой $Y'$, такой что $Y \subset \overline{Y'}$. Тогда $RY = Y \cup Y'$ и $Y'$ является минимальной по включению среди орбит не равных $Y$, удовлетворяющих $Y \subset \overline{Y'}$.
Стоит отметить, что обычно в определении сферических многообразий подразумевается нормальность, однако в упомянутых теоремах нормальность не требуется.
Также мы обсудим необходимое и достаточное комбинаторное условие, которое нужно наложить на вес $B$-корневой подгруппы,
чтобы она сохраняла замыкание данной $G$-орбиты.
Доклад основан на совместных работах с Р. С. Авдеевым [2], [3], [4].
Список литературы [1] I. Arzhantsev, R. Avdeev. Root subgroups on affine spherical varieties. Selecta Math. (N.S.) 28 (2022), no. 3, article 60.
[2] R.S. Avdeev, V.S. Zhgoon. On the existence of $B$-root subgroups on affine spherical varieties. Dokl. Math. 105 (2022), no. 2, 51–55.
[3] R. Avdeev, V. Zhgoon. Root subgroups on horospherical varieties, arXiv: math.AG/2312.03377 (2023).
[4] R. Avdeev, V. Zhgoon. Connecting $G$-orbits in quasiaffine spherical varieties via $B$-root subgroups, arXiv: math.AG/2512.09906.
